Renormalised mean-field analysis of the 2D Hubbard model

Abstract

Systems with different competing instabilities pose a great challenge to theoretical physics. A formidable example for such systems is the material class of cooperates, like for example Ba-La-Cu-O. While normally being Mott-isolators in the undoped state, they become conductors or, below a critical temperature, even superconductors. These superconducting properties set in at for the phenomenon unusually high temperatures, why they are named high temperature superconductors. Also the normal-conducting, nonmagnetic state shows unusual and to a large extend non understood properties. The suppressed density of states close to the Fermi surface below certain temperatures, the linear temperature dependence of the resistance instead of the expected quadratic behaviour, to name a few.

One might assume, that these properties might find their origin the interplay of the different instabilities. A controlled calculation, which allows for the different instabilities on equal footing is demanded. Unfortunately is no practical method known, which can be employed for typical parameters of the high temperature materials.

In this work the fermionic RG in the symmetric phase is combined with a mean-field calculation allowing symmetry breaking. The RG scheme employed here is the Wick-ordered scheme in one-loop approximation. The energy dependence as well as the radial momentum dependence of the effective interaction are neglected. Since divergent couplings hinder the complete integration of the flow equations, only the high-energy modes can be treated within the RG; the low-energy modes are treated within a mean-field ansatz. The one-loop approximation is expected to be controlled for moderate initial interaction. For the low-energy model the cut-off provides a small parameter.

Systeme mit verschiedenen konkurrierenden Instabilitäten stellen eine große Herausforderung der theoretischen Physik dar. Ein Paradebeispiel für solche Systeme ist die Stoffklasse der Kupferoxide, wie z.B. Ba-La-Cu-O. Während die Materialien im undotierten Zustand gewöhnlich Mott-Isolatoren sind, werden sie durch Dotierung zu Leitern bzw. unterhalb einer kritischen Temperatur zu Supraleitern. Diese supraleitenden Eigenschaften setzen bei für dieses Phänomen hohen Temperaturen ein, weshalb sie auch als Hoch-T_c-Materialien bezeichnet werden. Auch der normalleitende, unmagnetische Zustand weist ungewöhnliche und weitestgehend unverstandene Eigenschaften auf. So ist unterhalb einer gewissen Temperatur die Zustandsdichte in der Nähe der Fermifläche unterdrückt; weiterhin ist die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes linear, im Gegensatz zu dem aus der Fermiflüssigkeits-Theorie erwarteten quadratischen Verhalten.

Es liegt die Vermutung nahe, dass diese Eigenschaften ihren Ursprung in dem Wechselspiel verschiedener Instabilitäten finden. Eine kontrollierte Rechnung, die verschiedene Instabilitäten gleichberechtigt zulässt, ist also wünschenswert. Leider ist bisher keine praktikable Methode bekannt, die für typische Parameter der Hoch-T_c-Materialien anwendbar wäre.

Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode ist eine Kombination aus funktionaler Renormierungsgruppe (RG) und einer erweiterten Molekularfeld-Rechnung. Die RG ist kontrolliert für kleine Wechselwirkungen (WW), nicht jedoch für die relativ starken WW des oben beschriebenen Problems; jedoch kann man etwas über die Hoch-T_c-Systeme durch Untersuchung des Limes schwacher Kopplungen lernen, zumindest unter der Annahme, dass das Verhalten kontinuierlich von der Wechselwirkungsstärke abhängt.

Die störungstheoretische Berechnung verschiedener Größen führt zu Divergenzen verschiedener Klassen von Diagrammen. Für kontrollierte Rechnungen ist es daher unumgänglich, diese Beiträge gleichberechtigt zu erfassen, d.h. aufzusummieren. Nur in speziellen Fällen ist dieses analytisch möglich. Die Idee der Renormierung besteht darin, das ursprungliche Problem in Moden hoher und Moden niedriger Energie zu zerlegen. Dazu wird eine Regularisierungsskala (Cut-Off) Lambda eingeführt und entsprechende skalenabhängige n-Punkt-Funktionen, die nur Beiträge hoher Energie enthalten. Die Änderung dieser Funktionen mit der Skala Lambda wird durch die Renormierungsgruppengleichungen oder Flussgleichungen beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichungen summiert im Limes Lambda -> 0 systematisch die führenden Beiträge. Auch diese Integration kann zu Divergenzen führen; diese sind jedoch keine Artefakte der Störungstheorie, sondern Zeichen einer Instabilität zu einer symmetriegebrochenen Phase. Diese Divergenzen verhindern die Ausintegration (Lambda -> 0) der RG-Gleichungen. In der Herleitung gemachte Näherungen werden durch das Anwachsen verschiedener Kopplungen ungültig. Daher ist es naheliegend, die Integration nur bis zu einer Skala durchzuführen, und die weiteren Freiheitsgrade auf andere Weise zu behandeln. Tatsächlich lassen sich die n-Punkt-Funktionen zusammen mit dem Cut-Off im in dieser Arbeit verwendeten RG Schema als skalenabhängiges Niederenergie-Modell auffassen.

Dieses Niederenergie-Modell wird im Rahmen einer erweiterten Molekularfeldnäherung (MF) behandelt. Die Molekularfeld-Rechnung erlaubt die gleichzeitige Berücksichtigung verschiedener Ordnungsparameter. Dabei stehen d-Wellen-Supraleitung und Spin-Dichte-Wellen (Antiferromagnet) im Mittelpunkt. Diese kombinierte MF+RG Theorie erlaubt derren Wechselspiel und eine mögliche Koexistenz zu untersuchen. Die Energielücken-Struktur (Gap-Struktur) und die Gapamplituden können berechnet werden.