Singularities of rotationally symmetric solutions of boundary value problems for the Lamé equations

Abstract

We apply the theory of elliptic boundary value problems in non-smooth domains with conical points to rotationally symmetric solutions of boundary value problems for the Lamé equations. The resulting expansion involves singular vector-functions which, in turn, depend on a parameter, α. We here present equations which determine the values of α for either stress-free or Dirichlet boundary conditions. We give a numerical algorithm whereby α can be computed and present some plots of the values obtained. The singular vector-functions are given explicitly and we present equations for the computation of the coefficients of the expansion.

Wir wenden die Theorie elliptischer Randwertprobleme in nichtglatten Gebieten mit konischen Punkten auf rotationssymmetrische Lösungen von Randwertproblemen für Lamé-Gleichungen an. Die resultierende Entwicklung zieht singuläre Vektor-Funktionen nach sich, die dann wieder von einem Parameter α abhängen. Wir stellen hier Gleichungen vor, die die Werte von α entweder für unbelastete oder für Dirichletsche Rand-Bedingungen bestimmen. Wir geben einen numerischen Algorithmus an, mit dem α berechnet werden kann und bringen einige Grafiken für die erhaltenen Werte. Die singulären Vektor-Funktionen werden explizit gegeben, und wir stellen Gleichungen zur Berechnung der Entwicklungskoeffizienten vor.