An explicit discontinuous Galerkin method for parallel compressible two-phase flow simulations

Abstract

In this thesis an efficient numerical method is presented to enable simulations with cavitating flow for a pure fluid. The simulation of cavitating flow poses various challenges. On the one hand, the phase transition between the vapor and liquid phase must be considered, and on the other hand a high-resolving numerical method is required, which can resolve the occurring spatial and temporal scales. In addition, in the presence of cavitation, the thermodynamic quantities (e.g. density, pressure) can vary by several orders of magnitude over a very short distance. To consider phase change, in this work an accurate equation of state is needed which is able to resolve the vapor, liquid and two-phase regions of such a fluid. CoolProp, a thermodynamic property database for over 100 fluids, is well suited for this task since it uses the most-accurate Helmholtz free energy formulation as equation of state. Assuming thermodynamic equilibrium and using the Maxwell construction in the two-phase region, the compressible Navier-Stokes equations can be closed by the equation of state from the CoolProp library. Compressibility effects need to be considered in the two-phase region as well as in the vapor state. Also friction and the heat flux are represented by the Navier-Stokes equations. From the class of the numerical methods, the discontinuous Galerkin method is a good candidate to resolve the occurring spatial and temporal scales. The here used discontinuous Galerkin spectral element method solves the Navier-Stokes equations with an explicit time integration. This method is known for its low numerical dissipation and good scaling capabilities on state of the art high performance computers. A disadvantage of this method is that it can handle neither shocks nor high gradients. These occurring physical phenomena must be resolved by a method which can deal with these phenomena, but does not affect the good scaling ability. For this case a second order finite volume sub-cell approach is presented. The finite volume method is only active in those elements where the discontinuous Galerkin method is not able to resolve the high gradients or shocks. Since the evaluation of the Helmholtz free energy formulation is linked with high computational effort, the equation of state is stored in a preprocessing step as a polynomial representation on a hierarchically adaptable grid (so-called quadtree). This step is parallelized and performs on an arbitrary number of processors. The data of the equation of state are stored in a polynomial representation with a user-defined error compared to the original solution. During the simulation the stored quadtrees are loaded into the memory of each processor. Then the data of the quadtrees are used to provide the necessary relations between the thermodynamic variables. This approach reduces the computational effort by three orders of magnitude compared to the direct evaluation and is well suited for calculations on state of the art high performance computers. The presented method is validated and it is compared to results in literature for one dimensional simulations. The desired convergence rate is reached and the obtained results are in very good agreement with the reference data from the literature. A two dimensional calculation shows water streaming around a hydrofoil producing cavitation. The strong pressure waves arising during the collapse of the cavitation regions are captured by the simulation and resolved in a numerically stable manner. Finally, the framework developed here is applied to a complex, three-dimensional application from the industry to demonstrate the quality of the method and to show that complex multiscale problems can be calculated on several thousand processors in a reasonable time. For this industrial application also the good scaling on a high performance computer is shown.

In dieser Arbeit wird ein effizientes numerisches Verfahren zur Simulation von kavitierenden Strömungen reiner Fluide vorgestellt. Die Simulation von kavitierender Strömung bringt verschiedene Anforderungen mit sich. Zum einen muss der Phasenübergang zwischen der Dampf- und Flüssigkeitsphase betrachtet werden und zum anderen ist eine hoch auflösende Numerik erforderlich, die die auftretenden räumlichen und zeitlichen Skalen abbilden kann. Zusätzlich können bei Kavitation die thermodynamischen Größen (z. B. Dichte, Druck) um mehrere Größenordnungen über einen sehr kleinen räumlichen Bereich variieren. Die starken Gradienten müssen von dem numerischen Verfahren dargestellt werden können. Um den Phasenübergang zu berücksichtigen, ist in dieser Arbeit eine realistische Zustandsgleichung erforderlich, die in der Lage ist, die Dampf-, Flüssigkeits- und Zweiphasenbereiche eines solchen Fluids aufzulösen. CoolProp, eine thermodynamische Parameterdatenbank für über 100 Flüssigkeiten, ist für diese Aufgabe gut geeignet, da sie die sehr genaue Helmholtz-Energie Formulierung als Zustandsgleichung verwendet. Unter der Annahme des thermodynamischen Gleichgewichts und der Anwendung der Maxwell-Konstruktion im Zweiphasenbereich können die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen durch die Zustandsgleichung aus der CoolProp-Bibliothek geschlossen werden. Sowohl im Zweiphasenbereich als auch im Dampfzustand sind Kompressibilitätseffekte zu berücksichtigen. Reibung und Wärmefluss werden durch die Navier-Stokes Gleichungen ebenfalls dargestellt. Aus der Klasse der numerischen Verfahren ist die diskontinuierliche Galerkin Methode ein guter Kandidat, um die auftretenden räumlichen und zeitlichen Skalen abzubilden. Das hier verwendete diskontinuierliche Galerkin Spektralelementverfahren hoher Ordnung löst die Navier-Stokes Gleichungen mit einer expliziten Zeitintegration. Dieses Verfahren ist für seine niedrige numerische Dissipation und gute Skalierungsfähigkeiten auf Hochleistungscomputern der neuesten Generation bekannt. Ein Nachteil ist aber, dass es weder Stöße noch starke Gradienten behandeln kann. Diese auftretenden physikalischen Phänomene müssen durch eine Methode abgebildet werden, die mit diesen umgehen kann, aber die gute Skalierungsfähigkeit nicht beeinträchtigt. Für diesen Fall wird ein Finite-Volumen Subzellansatz zweiter Ordnung vorgestellt. Die Finite-Volume Methode ist nur in den Elementen aktiv, in denen die diskontinuierliche Galerkin Methode nicht in der Lage ist, diese starken Gradienten bzw. die Stöße stabil aufzulösen. Da die Auswertung der Helmholtz-Energie Formulierung mit hoher Rechenzeit verbunden ist, wird die Zustandsgleichung in einem der Simulation vorausgehenden Arbeitsschritt in eine Polynomdarstellung auf einem hierarchisch adaptierbaren Gitter (sog. Quadtree) gebracht. Dieser Schritt wird parallelisiert und kann auf einer beliebig großen Anzahl von Prozessoren durchgeführt werden. Die Daten des Quadtree werden gespeichert und die polynomiale Näherung bildet die ursprüngliche Lösung bis zu einem frei gewählten Fehler ab. Während der Simulation werden die gespeicherten Quadtrees in den Speicher jedes an der Simulation beteiligten Prozessors geladen. Dann werden die Daten der Quadtrees ausgewertet, um die notwendigen Beziehungen zwischen den thermodynamischen Größen bereitzustellen. Dieser Ansatz reduziert die Rechenzeit um drei Größenordnungen gegenüber der direkten Auswertung und eignet sich somit sehr gut für Berechnungen auf Hochleistungsrechnern. Der hier vorgestellte Ansatz wird validiert und mit Ergebnissen aus der Literatur für eindimensionale Simulationen verglichen. Die gewünschte Konvergenzrate wird erreicht und die erzielten Ergebnisse stimmen sehr gut mit den Referenzdaten aus der Literatur überein. Eine zweidimensionale Simulation, bei der Wasser um eine Tragfläche strömt, zeigt die Bildung von Kavitation. Die beim Zerfall der Kavitationsgebiete entstehenden starken Druckwellen werden von der Simulation erfasst und numerisch stabil aufgelöst. Abschließend wird das hier entwickelte Verfahren für eine komplexe, dreidimensionale Anwendung aus der Industrie benutzt, um die Güte der hier vorgestelleten Methode zu demonstrieren und zu zeigen, dass komplexe Multiskalprobleme auf mehreren tausend Prozessoren in angemessener Zeit berechnet werden können. Für diese industrielle Anwendung wird auch die gute Skalierung auf einem Hochleistungsrechner gezeigt.