Automorphismengruppen von lokalkompakten zusammenhängenden Quasikörpern und Translationsebenen

Abstract

Der bisher erfolgreichste Ansatz zur Klassifikation topologischer projektiver Ebenen (bei denen Punkt- und Geradenraum so mit einer Topologie versehen werden, daß Verbinden und Schneiden stetig sind) ist das Studium ihrer Kollineationsgruppen als topologische Transformationsgruppen. Für Ebenen mit kompaktem, zusammenhängendem und höchstens vierdimensionalem Punktraum hat dieser Ansatz in den letzten 15 Jahren in Arbeiten von H. Salzmann, D. Betten, S. Breitsprecher und K. Strambach zu abgerundeten Klassifikationsergebnissen geführt. Über Ebenen mit Punkträumen höherer topologischer Dimension hingegen liegen bisher keine systematischen Ergebnisse vor, unter anderem wohl deshalb, weil hier im Gegensatz zu den Verhältnissen in den unteren Dimensionen (vgl. etwa [12], [13], [15]) eine Reihe noch völlig offener topologischer Probleme aufgeworfen ist: etwa die Fragen, ob Punkt- und Geradenmenge stets lokaleuklidisch sind und ob die geeignet topologisierte Kollineationsgruppe eine Liegruppe ist. Diese Schwierigkeiten werden hier durch Einschränkung der Untersuchung auf Translationsebenen umgangen. Die Erfahrungen bei vierdimensionalen Ebenen etwa aus [16] und [17] Iassen hoffen, daß mit den Translationsebenen die hinsichtlich der Größe der Kollineationsgruppe homogensten Ebenen schon erfaßt sind.