Browsing by Author "Hähl, Hermann"
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Item Open Access Item Open Access Achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit großen Streckungsgruppen(1980) Hähl, HermannZiel dieser Note ist die Bestimmung und Beschreibung aller acht dimensionalen lokalkompakten topologischen Translationsebenen, welche zu zwei nichtparallelen affinen Achsen eine große (mindestens 3-dimensionale) Gruppe von affinen Achsenstreckungen einheitlicher Richtung zulassen. Diese Ebenen sind gekennzeichnet durch die Existenz einer zu Spin(4)=Spin(3) ² isomorphen Gruppe affiner stetiger Kollineationen, die auf der uneigentllchen Geraden als S04(R) operiert. Sie werden deshalb als Spin(4)-Ebenen bezeichnet.Item Open Access Achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit mindestens 17- dimensionaler Kollineationsgruppe(1986) Hähl, HermannDiese Arbeit bildet den Abschluß eines Klassifikationsprogramms mit dem Ziel der expliziten Bestimmung aller achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen, deren Kollineationsgruppe mindestens 17-dimensional ist. Diese Klassifikation ist über den Rahmen der Theorie der topologischen Translationsebenen hinaus von Belang. Nach neuesten Ergebnissen von Salzmann (bisher unveröffentlicht) ist jede achtdimensionale, (lokal)kompakte topologische projektive Ebene, deren Kollineationsgruppe mindestens 17-dimensional ist, entweder isomorph zu einer der quaternalen Hughes-Ebenen ([23, Satz 2, 3.6ff]), oder aber eine Translationsebene bzw. dual zu einer solchen. Die Klassifikation, die hier zum Abschluß gebracht wird, liefert also die Ebenen mit größtmöglicher Beweglichkeit unter den achtdimensionalen kompakten projektiven Ebenen schlechthin.Item Open Access Achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit zu SL2(C) isomorphen Kollineationsgruppen(1982) Hähl, HermannZiel dieser Arbeit ist die Analyse derjenigen achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen, die eine zu SL2(C) (lokal) isomorphe Gruppe stetiger Kollineationen besitzen. Solche Ebenen werden im folgenden SL2(C)-Ebenen genannt. Die Ergebnisse dieser Analyse sind von Bedeutung für die Untersuchung der achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen überhaupt, da sie zur Lösung einiger zentraler Probleme beitragen, die sich im Rahmen einer KlassifIkation achtdimensionaler lokalkompakter Translationsebenen nach ihren Kollineationsgruppen stellen. Daß in einer solchen Klassiftkation die SL2 (C)-Ebenen an entscheidender Stelle notwendig ins Blickfeld kommen, sei anhand einiger Vorüberlegungen verdeutlicht.Item Open Access Item Open Access Automorphismengruppen von lokalkompakten zusammenhängenden Quasikörpern und Translationsebenen(1975) Hähl, HermannDer bisher erfolgreichste Ansatz zur Klassifikation topologischer projektiver Ebenen (bei denen Punkt- und Geradenraum so mit einer Topologie versehen werden, daß Verbinden und Schneiden stetig sind) ist das Studium ihrer Kollineationsgruppen als topologische Transformationsgruppen. Für Ebenen mit kompaktem, zusammenhängendem und höchstens vierdimensionalem Punktraum hat dieser Ansatz in den letzten 15 Jahren in Arbeiten von H. Salzmann, D. Betten, S. Breitsprecher und K. Strambach zu abgerundeten Klassifikationsergebnissen geführt. Über Ebenen mit Punkträumen höherer topologischer Dimension hingegen liegen bisher keine systematischen Ergebnisse vor, unter anderem wohl deshalb, weil hier im Gegensatz zu den Verhältnissen in den unteren Dimensionen (vgl. etwa [12], [13], [15]) eine Reihe noch völlig offener topologischer Probleme aufgeworfen ist: etwa die Fragen, ob Punkt- und Geradenmenge stets lokaleuklidisch sind und ob die geeignet topologisierte Kollineationsgruppe eine Liegruppe ist. Diese Schwierigkeiten werden hier durch Einschränkung der Untersuchung auf Translationsebenen umgangen. Die Erfahrungen bei vierdimensionalen Ebenen etwa aus [16] und [17] Iassen hoffen, daß mit den Translationsebenen die hinsichtlich der Größe der Kollineationsgruppe homogensten Ebenen schon erfaßt sind.Item Open Access Charakterisierung der kompakten, zusammenhängenden Moufang-Hughes-Ebenen anhand ihrer Kollineationen(1986) Hähl, HermannGegeben sei eine projektive Ebene P mit einer desarguesschen Baer-Unterebene D derart, daß jede projektive Kollineation von D sich zu einer Kollineation von P fortsetzen läßt. Was kann man über P aussagen? Eine allgemeine Lösung dieses Problems scheint schwierig zu sein. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen wird man jedoch zu befriedigenden Antworten gelangen können. Im endlichen Fall etwa ergeben sich so genau die Hughes-Ebenen.Item Open Access Differentiable fibrations of the (2n-1)-sphere by great (n-1)-spheres and their coordinatization over quasifields(1987) Hähl, HermannA locally trivial differentiable fibre bundle with total space S 2n-1 whose fibres are great (n-1)-spheres is topologically equivalent to one of the classical Hopf fibrations.Item Open Access Fibrations of spheres by great spheres over division algebras and their differentiability(1990) Grundhöfer, Theo; Hähl, HermannThe authors answer the natural question: When is the fibration of S {2n-1} by great (n-1)-spheres determined by a division algebra differentiable? They show that this happens only for the classical Hopf fibrations, which are determined by the classical division algebras R, C, H and O.Item Open Access Geometrisch homogene vierdimensionale reelle Divisionsalgebren(1975) Hähl, HermannDie vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur Klassifikation kompakter zusammenhängender topologischer Translationsebenen.Item Open Access Homologies and elations in compact, connected projective planes(1981) Hähl, HermannIn a compact, connected topological projective plane, let Ω be a closed Lie subgroup of the group of all axial collineations with a fixed axis A. We compare the set З\A consisting of the centres of all non-identical homologies in Ω to orbits of the group Ω[A] of all elations contained in Ω and of its connected component θ = (Ω[A])1. It is shown that З\A is the union of at most countably many θ-orbits; moreover, З\A turns out to be a single θ-orbit whenever the connected component of Ω contains non-identical homologies. This result is analogous to a well-known theorem of André for finite planes. It has numerous consequences for the structure of collineation groups of compact, connected projective planes.Item Open Access Eine Kennzeichnung der Oktavenebene(1987) Hähl, HermannWe consider partitions of R 16 into pairwise complementary 8-dimensional subspaces whose union covers R 16 (or, equivalently, fiberings of S15 by great 7-spheres). It is shown that if such a partition is (globally) invariant by a closed subgroup of GL16(R) locally isomorphic to S07(IR, I), then it is linearly equivalent to the classical Hopf partition corresponding to the Cayley numbers O, namely the system of lines through the origin in the affine Cayley plane over O.Item Open Access Eine Klasse von achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen mit großen Scherungsgruppen(1984) Hähl, HermannA Class of Eight-dimensional, Locally Compact Translation Planes with Many Shears. This paper is one of the final steps in a classification program to determine all eight-dimensional, locally compact translation planes having large collineation groups. Here, we describe all such planes whose collineation group contains asemidircet product Σ·N, where N is an at least 3-dimensional normal subgroup consisting of shears with fixed axis, and Σ is isomorphie to S0 3(R).Item Open Access Kriterien für lokalkompakte topologische Quasikörper(1982) Hähl, HermannAnliegen dieser Note ist die Aufstellung von notwendigen und hinreichenden Kriterien, die es erlauben, mit möglichst geringem Aufwand zu verifizieren, daß eine vorgelegte topologisch-algebraische Struktur ein lokalkompakter topologischer Quasikörper ist.Item Open Access Lokalkompakte zusammenhängende Translationsebenen mit großen Sphärenbahnen auf der Translationsachse(1979) Hähl, HermannDie vorliegende Arbeit untersucht lokal kompakte zusammenhängende topologische Translationsebenen, auf deren Translationsachse L∞ eine Gruppe von stetigen affinen Kollineationen eine Bahn hat, die zu einer Sphäre relativ großer Dimension homöomorph ist. Daß diese Situation natürlich auftritt und häufig vorkommt, zeigt das folgende.Item Open Access Die Oktavenebene als Translationsebene mit großer Kollineationsgruppe(1988) Hähl, HermannThe Cayley Plane as a Translation Plane with a Large Collineation Group. It is shown that the affine plane over the Cayley numbers is the only 16-dimensional locally compact topological translation plane having a collineation group of dimension at least 41. This (hitherto unpublished) result is one of the ingredients of H. Salzmann's characterizations of the Cayley plane among general compact projective planes by the size of its collineation group. The proof involves various case studies of the possibilities for the structure and size of collineation groups of 16-dimensional locally compact translation planes. At the same time, these case studies are important steps for a classification program aiming at the explicit determination of all such translation planes having a collineation group of dimension at least 38.Item Open Access On the kernel and the nuclei of 8-dimensional locally compact quasifields(1977) Buchanan, Thomas; Hähl, HermannIn this note we determine the nuclei of 8-dimensional real nonassociative division algebras and also study the corresponding substructures of 8-dimensional locally compact quasifields.Item Open Access Sechzehndimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit Spin(7) als Kollineationsgruppe(1987) Hähl, HermannZiel dieser Note ist die explizite Bestimmung und Beschreibung aller sechzehndimensionalen lokalkompakten Translationsebenen, in denen die Gruppe G der affinen Kollineationen eine zu SO 7 (R) lokal isomorphe Untergruppe besitzt.Item Open Access Sechzehndimensionale lokalkompakte Translationsebenen, deren Kollineationsgruppe G2 enthält(1990) Hähl, HermannNeueste, bisher unveröffentlichte Resultate von H. Salzmann im Anschluß an die Arbeiten [14]-[17] sowie von M. Hubig (einem seiner Schüler) zeigen, daß eine sechzehndimensionale (lokal)kompakte topologische projektive Ebene, in der die Gruppe G der stetigen Kollineationen als topologische Gruppe Dimension > 40 hat, notwendig eine Translationsebene ist. Für dim G ≥ 41 ist dies bewiesen; mit dem Hauptergebnis der Arbeit, die sich mit dieser Situation in Translationsebenen näher auseinandersetzt, folgt dann schließlich, daß die einzige Ebene dieser Art mit dim G ≥ 41 die klassische Ebene über der Algebra O der reellen Oktaven ist.Item Open Access Sixteen-dimensional locally compact planes of Lenz-type V on which SU2H acts as a group of collineations(2020) Hähl, Hermann; Meyer, EkkehardWe explicitly construct all the planes mentioned in the title.