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Ein Axiomensystem für die hyperbolischen Ebenen über euklidischen Körpern
(2008) Augat, Carsten; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)
Die vorliegende Dissertation gehört zum Gebiet der metrischen Geometrie. Nach dem Vorbild der Vorlesung "Synthetische Geometrie", welche die euklidische Geometrie (genauer gesagt, die Geometrie der präeuklidischen Ebenen im Sinne von Degen-Profke) aus einem sehr einfachen Axiomensystem entwickelt, wird hier ein ähnliches Axiomensystem für die ebenen hyperbolischen Geometrien aufgestellt und gezeigt, dass die Modelle dieses Axiomensystems genau die hyperbolischen Ebenen über euklidischen Körpern sind.
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Über Differenzierbarkeit 2-dimensionaler projektiver Ebenen : am Beispiel von Schiebe- und Schellhammer-Ebenen
(2011) Poppitz, Steffen; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)
In dieser Arbeit sollen ausgesuchte Familien von (2-dimensionalen) projektiven Ebenen auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Dabei bedeutet "differenzierbar", dass Punktmenge und Geradenmenge der Ebene differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, so dass "Schneiden von Geraden" und "Verbinden von Punkten" differenzierbar ist. Eine jede differenzierbare projektive Ebene ist auch eine topologische Ebene und es gibt viele höchst verschiedene Beispiele topologischer projektiver Ebenen, die bis zu einem gewissen Grad sogar klassifiziert sind. Bei differenzierbaren projektiven Ebenen stellt sich die Situation ganz anders dar: Bis jetzt sind nur sehr wenige Beispiele differenzierbarer projektiver Ebenen bekannt. Abgesehen von den klassischen Beispielen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Oktaven gibt es eine Konstruktion sehr starrer Beispiele von Otte (bei denen es unklar ist, ob sie nichttriviale Automorphismen besitzen) und eine Konstruktion von B. Segre, von der Immervoll gezeigt hat, dass sie differenzierbare projektive Ebenen liefert, welche sogar große Automorphismengruppen aufweisen. Differenzierbare affine (oder allgemeiner stabile) Ebenen sind hingegen leichter zu finden. Im Gegensatz zu topologischen Ebenen, wo der projektive Abschluss einer lokalkompakten, zusammenhängenden affinen Ebene eine kompakte topologische projektive Ebene ist, gibt es differenzierbare affine Ebenen, deren projektiver Abschluss nicht differenzierbar ist. Auf der Suche nach Beispielen differenzierbarer Ebenen bietet es sich an, bekannte topologische Ebenen darauf hin zu untersuchen, ob Punkt- und Geradenmenge eine differenzierbare Struktur zulassen, so dass "Schneiden" und "Verbinden" differenzierbar wird. Kompakte zusammenhängende topologische projektive Ebenen können bezüglich der Dimension und Struktur ihrer Automorphismengruppen klassifiziert werden und in diesem Rahmen lässt sich die Suche nach differenzierbaren Ebenen recht systematisch durchführen. Bödi hat in seiner Habilitationsschrift bewiesen: übersteigt die Dimension der Automorphismengruppe einer Ebene eine gewisse Schranke, so ist die Ebene nur dann differenzierbar, wenn sie isomorph zur entsprechenden klassischen Ebene ist. Es ist naheliegend, die verbleibenden bekannten Klassen und Familien kompakter zusammenhängender topologischer Ebenen auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Da die Beschreibung dieser Familien allerdings sehr allgemein ist -- meist gestützt auf einzelne oder mehrere Funktionen, die relativ schwachen Anforderungen genügen müssen und mit deren Hilfe man die Punktreihen der Geraden beschreibt --, kann die Untersuchung sehr unangenehm werden. In der Regel wird es wohl bei solchen Klassen nötig sein, mit Hilfe geometrischer Operationen und der Wirkung der Automorphismengruppe die differenzierbare Struktur zu konstruieren, die in einer differenzierbaren Ebene notwendigerweise vorliegen muss, um dann Schneiden und Verbinden zu untersuchen. Das eigentliche Konstruieren der differenzierbaren Struktur ist dabei weniger das Problem, sondern die dann konkret anzugebenden Karten und der Umgang mit diesen: Die auftretenden Terme werden zum Teil so unangenehm, dass auch -- oder gerade -- Computeralgebrasysteme keine Hilfe mehr darstellen. Im Fall 2-dimensionaler Ebenen hat Bödi gezeigt, dass differenzierbare projektive Ebenen mit mindestens 3-dimensionaler Automorphismengruppe isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen sind. Da die 2-dimensionalen kompakten zusammenhängenden topologischen projektiven Ebenen mit 2-dimensionaler Automorphismengruppe vollständig klassifiziert sind, soll deshalb mit dieser Arbeit anhand zweier Familien begonnen werden, diese Ebenen systematisch auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. In Kapitel 4 wird eine Familien von Schiebe-Ebenen studiert, die zwar eine differenzierbare affine Teilebene besitzen, im Allgemeinen aber als projektive Ebene nicht differenzierbar sind. In Kapitel 5 werden Schellhammer-Ebenen untersucht. Dort ist es zwar möglich, Ebenen mit differenzierbaren stabilen Teilebenen zu finden, jedoch ist eine affine oder projektive differenzierbare Schellhammer-Ebene, sofern sie gewisse Zusatzvoraussetzungen erfüllt, isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen.
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Zur Klassifikation achtdimensionaler kompakter Ebenen mit mindestens 16-dimensionaler Automorphismengruppe
(2000) Boekholt, Sven; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)
Jede achtdimensionale kompakte projektive Ebene, deren Automorphismengruppe mindestens 17-dimensional ist, ist eine Hughes-Ebene, eine Translationsebene oder eine duale Translationsebene. Die Ebenen dieser Art sind vollständig klassifiziert. Für Ebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe ist bisher nur bekannt, daß es sich (bis auf Dualität) um Translationsebenen handelt, wenn man zusätzlich voraussetzt, daß das Fixgebilde der Zusammenhangskomponente der Automorphismengruppe nicht aus einer Fahne besteht. Bis jetzt gibt es auch keine vollständige Klassifikation der achtdimensionalen kompakten Translationsebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Die vorliegende Arbeit enthält zunächst einen ausführlichen Beweis für die obige Aussage bezüglich Ebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Dann werden Translationsebenen untersucht, wobei sich herausstellt, daß große auflösbare Automorphismengruppen Ebenen charakterisieren, die nah am Lenz-Typ V sind. (Die Automorphismengruppe einer solchen Ebene fixiert genau eine Fahne.) Die Beschreibung einer bisher unbekannten Familie von Ebenen liefert anschließend den letzten Baustein zur Klassifikation aller achtdimensionalen kompakten Ebenen vom Lenz-Typ V mit (mindestens) 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Eine Untersuchung der vorher schon bekannten Beispiele für Translationsebenen im Licht dieser Resultate zeigt, daß unter diesen Beispielen bis auf Isomorphie schon alle achtdimensionalen kompakten Ebenen vorkommen, die eine 16-dimensionale Automorphismengruppe haben, deren Zusammenhangskomponente nicht genau eine Fahne fixiert. Außerdem ergibt sich, daß zur Bestimmung aller nun noch unbekannten achtdimensionalen kompakten Translationsebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe (deren Zusammenhangskomponente genau eine Fahne fixiert) nur noch Ebenen mit auflösbarer Automorphismengruppe und reellem Kern betrachtet werden müssen.