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    Laufende Wellenlösungen von Systemen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen am Beispiel von Mehrphasenströmungen in porösen Medien
    (2012) Hönig, Oliver; Hilfer, Rudolf (Prof. Dr. Dr.)
    Obwohl die Anwendungen der Theorie der Mehrphasenströmungen in porösen Medien äußerst zahlreich und in den letzten hundert Jahren intensiv erforscht worden sind, ist das Verhalten auf makroskopischer Skala bis heute nicht verstanden. Darunter sind insbesondere die Hysterese und die residualen Fluidkonfigurationen zu zählen. Hilfer stellt in Physical Review E, Vol. 73, 016307, 2006 ein Modell vor, das die zwei Phasen in jeweils perkolierende und nichtperkolierende Phasen unterteilt. Seitdem konnten Doster und Hilfer erste vielversprechende Ergebnisse für das Modell finden. Darunter waren z.B. hyperbolische Ähnlichkeitslösungen, wie das Buckley-Leverett-Problem für immobile nichtperkolierende Phasen. Eine andere Ähnlichkeitslösung, nämlich die der laufenden Wellen, soll hier in dieser Arbeit auf das Modell angewandt werden. Laufende Wellen zeichnen sich dadurch aus, dass die Sättigungsprofile sich in der Form nicht ändern und sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegen. Sie bedient sich der Theorie der dynamischen Systeme, um eine qualitative Beschreibung zu ermöglichen. Laufende Wellen sind zum einen interessant, weil sie in verschiedenen Experimenten beobachtet wurden, zum anderen aber auch, weil sie gewisse Schwierigkeiten im Buckley-Leverett-Problem beheben können. Das traditionelle und das in Physical Review E, Vol. 73, 016307, 2006 vorgeschlagene Modell wird in einer Raumdimension vorgestellt. Für das neue Modell werden dabei einige Näherungen besprochen, um Systeme einer, zweier oder dreier dimensionsloser fraktionaler Flussgleichungen zu erhalten. Die aus einem laufenden Wellenansatz dieser Systeme gewonnen Gleichungen werden mit einer dynamischen Systembeschreibung besprochen. Zuletzt werden Lösungen gezeigt, die direkt aus den partiellen Differentialgleichungen durch einen numerischen Algorithmus berechnet werden können. Hierbei werden geeignete Anfangs- und Randwerte gesucht, die stabile laufende Wellen ermöglichen. In Transport in Porous Media, Vol. 44, pp. 507-537, 2001 wurden von Brevdo et al. vier topologisch unterschiedliche laufende Wellenprofilklassen für das traditionelle Modell gefunden. In dieser Dissertation wird nun gezeigt, dass die Annahme, dass der Wasserfluss überall zu jeder Zeit stetig ist, zu Bedingungen führt, die die nichtdifferenzierbaren Wellenprofilklassen entweder auf ein bezüglich der Randwertsättigungen und der Geschwindigkeit eindeutiges Profil reduziert oder aber komplett ausschließt. Dies hängt vom Verhalten der Flussfunktionen und der Kapillarfunktionen ab. Bei den Parametrisierungsmodellen nach Brooks und Corey und nach Van Genuchten werden die nichtdifferenzierbaren Lösungsklassen ausgeschlossen. Die überall stetig differenzierbare Klasse besitzt die Eigenschaft, dass ihre Profile eindeutig durch die Randwertsättigungen und die Geschindigkeiten bestimmt werden. Damit ist es in dieser Arbeit gelungen, alle qualitativen Informationen der laufenden Wellenlösung in nur einer Abbildung darzustellen. Die Ergebnisse des Perkolationsmodell mit immobilen nichtperkolierenden Sättigungen unterscheiden sich im Vergleich zum traditionellen Modell darin, dass primäre und sekundäre Bewässerungen unterschieden werden können, was zu verschiedenen Geschwindigkeiten führt. Desweiteren ist es nun möglich, ein komplett trockenes Medium mit einer überall stetig differenzierbaren Welle zu bewässern. Bei mobilen nichtperkolierenden Phasen müssen zusätzliche Näherungen getroffen werden, um eine dynamische Systembeschreibung des laufenden Wellenansatzes zu ermöglichen. So muss die Kapillarität vereinfacht werden. Es kann nun zu nichtmonotonem Verhalten in allen vier Phasen kommen. Außerdem können sich Überschusslösungen in der Wassersättigung ergeben. Es werden für verschieden starke Näherungen Lösungen gezeigt, die die Auswirkungen einzelner Aspekte, wie die der gekoppelten Flüsse oder die des Massenaustausches, beleuchten. Die gekoppelten Flüsse spielen gerade bei den Überschusslösungen in der Wassersättigung eine herausragende Rolle. Die Massenaustauschterme können je nachdem, ob sie als Quellen oder Senken dienen, Überschüsse oder Unterschüsse in den einzelnen Phasen zulassen. Da sie jedoch nur zwischen den perkolierenden und nichtperkolierenden Phasen einer Flüssigkeit vorkommen, lassen sie die Wassersättigungsprofile monoton. Mit Hilfe eines numerischen Algorithmus' lassen sich geeignete Anfangs- und Randwerte finden, die in stabilen laufenden Wellenlösungen enden. Bei weniger restriktiven Annahmen kommen entweder ein oder zwei Freiheitsgrade hinzu. Dabei ist die Eindeutigkeit für gegebene Randwerte im Gegensatz zu den Lösungen für das traditionelle Modell nicht mehr gegeben. Dies geht auf die zusätzlichen Freiheitsgrade in den Anfangsbedingungen dreier oder vierer Phasen zurück, die entstehen, indem man die Wellen der einzelnen Phasen relativ zueinander verschieben kann.
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    Sequential generalized Riemann-Liouville derivatives based on distributional convolution
    (2022) Kleiner, Tillmann; Hilfer, Rudolf
    Sequential generalized fractional Riemann-Liouville derivatives are introduced as composites of distributional derivatives on the right half axis and partially defined operators, called Dirac-function removers, that remove the component of singleton support at the origin of distributions that are of order zero on a neighborhood of the origin. The concept of Dirac-function removers allows to formulate generalized initial value problems with less restrictions on the orders and types than previous approaches to sequential fractional derivatives. The well-posedness of these initial value problems and the structure of their solutions are studied.
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    Unraveling the impact of acetylation patterns in chitosan oligomers on Cu2+ ion binding : insights from DFT calculations
    (2023) Singh, Ratna; Smiatek, Jens; Moerschbacher, Bruno M.
    Chitosans are partially acetylated polymers of glucosamine, structurally characterized by their degree of polymerization as well as their fraction and pattern of acetylation. These parameters strongly influence the physico-chemical properties and biological activities of chitosans, but structure-function relationships are only poorly understood. As an example, we here investigated the influence of acetylation on chitosan-copper complexation using density functional theory. We investigated the electronic structures of completely deacetylated and partially acetylated chitosan oligomers and their copper-bound complexes. Frontier molecular orbital theory revealed bonding orbitals for electrophiles and antibonding orbitals for nucleophiles in fully deacetylated glucosamine oligomers, while partially acetylated oligomers displayed bonding orbitals for both electrophiles and nucleophiles. Our calculations showed that the presence of an acetylated subunit in a chitosan oligomer affects the structural and the electronic properties of the oligomer by generating new intramolecular interactions with the free amino group of neighboring deacetylated subunits, thereby influencing its polarity. Furthermore, the band gap energy calculated from the fully and partially deacetylated oligomers indicates that the mobility of electrons in partially acetylated chitosan oligomers is higher than in fully deacetylated oligomers. In addition, fully deacetylated oligomers form more stable complexes with higher bond dissociation energies with copper than partially acetylated ones. Interestingly, in partially acetylated oligomers, the strength of copper binding was found to be dependent on the pattern of acetylation. Our study provides first insight into the influence of patterns of acetylation on the electronic and ion binding properties of chitosans. Depending on the intended application, the obtained results can serve as a guide for the selection of the optimal chitosan for a specific purpose.
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    Simulating stochastic processes with variational quantum circuits
    (2022) Fink, Daniel
    Simulating future outcomes based on past observations is a key task in predictive modeling and has found application in many areas ranging from neuroscience to the modeling of financial markets. The classical provably optimal models for stationary stochastic processes are so-called ϵ-machines, which have the structure of a unifilar hidden Markov model and offer a minimal set of internal states. However, these models are not optimal in the quantum setting, i.e., when the models have access to quantum devices. The methods proposed so far for quantum predictive models rely either on the knowledge of an ϵ-machine, or on learning a classical representation thereof, which is memory inefficient since it requires exponentially many resources in the Markov order. Meanwhile, variational quantum algorithms (VQAs) are a promising approach for using near-term quantum devices to tackle problems arising from many different areas in science and technology. Within this work, we propose a VQA for learning quantum predictive models directly from data on a quantum computer. The learning algorithm is inspired by recent developments in the area of implicit generative modeling, where a kernel-based two-sample-test, called maximum mean discrepancy (MMD), is used as a cost function. A major challenge of learning predictive models is to ensure that arbitrarily many time steps can be simulated accurately. For this purpose, we propose a quantum post-processing step that yields a regularization term for the cost function and penalizes models with a large set of internal states. As a proof of concept, we apply the algorithm to a stationary stochastic process and show that the regularization leads to a small set of internal states and a constantly good simulation performance over multiple future time steps, measured in the Kullback-Leibler divergence and the total variation distance.
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    Effective transport coefficients of anisotropic disordered materials
    (2022) Hilfer, R.; Hauskrecht, J.
    A novel effective medium theory for homogenized transport coefficients of anisotropic mixtures of possibly anisotropic materials is developed. Existing theories for isotropic systems cannot be easily extended, because that would require geometric characterizations of anisotropic connectivity. In this work anisotropic connectivity is characterized by introducing a tensor that is constructed from a histogram of local percolating directions. The construction is inspired by local porosity theory. A large number of known and unknown generalized effective medium approximations for anisotropic media are obtained as limiting special cases from the new theory. Among these limiting cases the limit of strong cylindrical anisotropy is of particular interest. The parameter space of the generalized theory is explored, and the advanced results are applied to experiment.