Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-10611
Authors: Steinle, Rouven
Title: Nichtlineare Halbgruppen und Hysteresemodelle für nichtmonotone Sättigungsprofile
Other Titles: Nonlinear semigroups and hysteresis models for nonmonotone saturation profiles
Issue Date: 2019
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
metadata.ubs.publikation.seiten: iv, XXII, 207
URI: http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/10628
http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-ds-106285
http://dx.doi.org/10.18419/opus-10611
Abstract: Die experimentellen Beobachtungen von Sättigungsüberschüssen und Sättigungsfingern bei gravitationsgetriebenen Infiltrationsprozessen beschäftigt schon seit Jahrzehnten die Forschung von porösen Medien in Mathematik, Physik, Geowissenschaft und Ingenieurwesen. Sowohl die Vorhersage von Sättigungsüberschüssen bei Experimenten als auch das allgemeine theoretische Verständnis von Sättigungsüberschüssen ist noch nicht vollständig geklärt. Des Weiteren ist die Frage, ob Sättigungsüberschüsse und Sättigungsfinger eine Verbindung zueinander haben, weiterhin offen. Zur theoretischen Modellierung von nichtmonotonen Sättigungsprofilen und den Mechanismen, welche zur Entstehung und Ausbreitung dieser Profile nötig sind, gibt es eine Vielzahl von Ansätzen, beschrieben in Beliaev et al (Transport in Porous Media 43 (2001), S.487), Cuesta et al (European Journal of Applied Mathematics 11 (2000), S.381), Cueto-Felgueroso et al (Physical Review Letters 101 (2008), S.244504), DiCarlo et al (Transport in Porous Media 91 (2012), S.955), Doster et al (Physical Review E 86 (2012), S.016317) und Eliassi et al (Water Resources Research 38 (2002), S.1234). Ein Ansatz zur Ausbreitung von laufenden nichtmonotonen Sättigungsprofilen wurde von Hilfer und Steinle (The European Physical Journal Special Topics 223 (2014), S.2323) vorgestellt. Dieser Ansatz benutzt ausschließlich hysteretische relative Permeabilitäten zur Modellierung von Be- und Entwässerungsprozessen bei sich ausbreitenden Sättigungsüberschüssen. Sonstige Erweiterungen der Darcy-Theorie werden dabei nicht benutzt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Sättigungsfronten werden mit einer Rankine-Hugoniot-Bedingung, welche die fraktionalen Flüsse verwendet, berechnet. Bei einer optimal aufeinander abgestimmten Wahl der relativen Permeabilitäten, der Material- und Fluidparameter sowie der Anfangs- und Randbedingungen, existieren Sättigungsüberschüsse, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und konstanter Überschussbreite ausbreiten. In der vorliegenden Arbeit wird der Ansatz von Hilfer und Steinle (The European Physical Journal Special Topics 223 (2014), S.2323) auf die Darcy-Theorie in Verbindung mit einem allgemeinen Hysteresemodell mit graphenabhängigen relativen Permeabilitäten und Kapillardrücken angewendet. Das entstandene Anfangs- und Randwertproblem wird analytisch und numerisch untersucht. Im analytischen Teil wird sowohl das traditionelle als auch das hysteretische Anfangs- und Randwertproblem der Darcy-Theorie mit den Methoden der nichtlinearen Halbgruppentheorie diskutiert. Für die traditionelle Darcy-Theorie mit einer geeigneten Anfangsbedingung kann Existenz, Eindeutigkeit und Beschränktheit von Lösungen gezeigt werden. Darauf aufbauend werden diese Ergebnisse auf die hysteretische Darcy-Theorie angewendet. Im Rahmen einer vereinfachten Hystereseformulierung und mit geeigneten Bedingungen an die Anfangsbedingung und die Parameter der Gleichung existieren auch hier eindeutig Lösungen. Bei einer nichtmonotonen Anfangsbedingung sind diese Lösungen auch nichtmonoton. Des Weiteren wird die Ausbreitung von nichtmonotonen Sättigungsprofile mit Hilfe der Rankine-Hugoniot-Bedingung untersucht. Die Wahl der Parameter und Anfangs- und Randbedingungen erzeugt nicht nur laufende Sättigungsüberschüsse, sondern auch Überschüsse mit wachsender oder schrumpfender Plateaubreite. Nicht nur die Wahl der Parameter hat einen Einfluss auf die Ausbreitung der Lösungen, sondern auch die Wahl des Hysteresemodells. Abhängig vom Hysteresemodell, kann sich ein nichtmonotones Sättigungsprofil als laufende Welle oder mit wachsender oder schrumpfender Plateaubreite durch das poröse Medium bewegen. Außerdem kann man in der theoretischen Betrachtung nicht nur die Ausbreitung von Sättigungsüberschüssen bei schwerkraftgetriebenen, sondern auch bei horizontalen Strömungen erklären. Im numerischen Teil wird die hysteretische Darcy-Theorie für variierende Material- und Fluidparameter, Anfangs- und Randbedingungen und Hysteresemodelle untersucht. Die numerischen Simulationen bestätigen die analytischen Resultate und zeigen, dass die Lösungen unabhängig von der Hysterese im Kapillardruck und im kapillaren Fluss sind. Jedoch sind die Lösungen stark abhängig von den Anfangs- und Randwerten. In Folge dieser Abhängigkeit gibt es eine große Variation an qualitativ unterschiedlichen zeitlichen Entwicklungen der Sättigungsüberschüsse. Darüber hinaus werden existierende Experimente modelliert. Es kann gezeigt werden, dass die numerischen nichtmonotonen Sättigungsprofile mit den experimentellen Daten in Bezug auf Ausbreitungsgeschwindigkeiten, Überschussbreite und Überschusshöhe übereinstimmen. Des Weiteren wird numerisch untersucht, ob die Formulierung der Darcy-Theorie einen Einfluss auf die Lösungen hat. Bei einer geeigneten Wahl der Randbedingungen sind die numerischen Ergebnisse nahezu identischen und somit sind die Lösungen unabhängig von der Formulierung. Abschließend ist eine erste numerische Einordnung von Sättigungsfingern bei zweidimensionalen Strömungen möglich. Die numerischen Lösungen zeigen, dass nur ein Sättigungsfinger in Verbindung mit einem Sättigungsüberschuss in der Fingerspitze für lange Zeiten existiert. Diese Arbeit zeigt, dass die Beschreibung von laufenden Sättigungsüberschüssen im Rahmen der Darcy-Theorie mit hysteretischen relativen Permeabilitäten möglich ist. Zusätzlich zu laufenden Sättigungsüberschüssen existieren in der Theorie auch nichtlaufende nichtmonotone Sättigungsprofile mit wachsender oder schrumpfender Plateaubreite. Einerseits sind in der theoretischen Modellierung weitere Untersuchungen und numerische Simulationen für zweidimensionale Strömungen notwendig, um Aussagen über die Ausbreitung von Sättigungsfingern treffen zu können. Auf der anderen Seite sind auch weitere Forschungen mit längeren quasi-eindimensionalen porösen Medien notwendig, um herauszufinden, ob die nichtlaufenden Überschüsse aus der Theorie auch experimentell beobachtbar sind. Darüber hinaus wurden bei einer Kooperation mit dem Institut für Wasser- und Umweltsystemmodellierung (IWS) der Universität Stuttgart nichtmonotone Sättigungsprofile mit unterschiedlichen Implementierungen berechnet und verglichen, Schneider et al (Transport in Porous Media 121 (2018), Nr.3). Die numerischen Lösungen unterscheiden sich dabei nur minimal und damit konnte gezeigt werden, dass die Ausbreitung von Sättigungsüberschüssen nicht von der Wahl der numerischen Lösungsmethode abhängig ist.
Since many decades there have been numerous observations of saturation overshoot and saturation fingering in porous media during gravity driven infiltration experiments. Nevertheless, research in mathematics, physics, earth science and engineering still deals with describing these observations. Both, the prediction of saturation overshoot in experiments and the theoretical understanding of saturation overshoot are open questions. Moreover, the connection between saturation overshoot and saturation fingering is still unclear. Several approaches discuss the theoretical modeling of nonmonotone saturation profiles and the initiation and propagation of overshoots, see Beliaev et al (Transport in Porous Media 43 (2001), p.487) Cuesta et al, European Journal of Applied Mathematics 11 (2000), p.381), Cueto-Felgueroso et al (Physical Review Letters 101 (2008), p.244504), DiCarlo et al (Transport in Porous Media 91 (2012), p.955), Doster et al (Physical Review E 86 (2012), p.016317) and Eliassi et al (Water Resources Research 38 (2002), p.1234). In Hilfer and Steinle (The European Physical Journal Special Topics 223 (2014), p.2323) an approach for the propagation of travelling nonmonotone saturation profiles was introduced. Only hysteresis in the relative permeabilities is used to model imbibition and drainage processes during the propagation of the saturation overshoots. The above mentioned extensions of the Darcy theory are not used. The propagation velocities of the saturation front are calculated with a Rankine-Hugoniot condition using the fractional ow functions. Travelling saturation overshoots with constant propagation velocity and constant plateau width are possible for delicately chosen parameters and initial and boundary values. Here this approach from Hilfer and Steinle (The European Physical Journal Special Topics 223 (2014), p.2323) is used for the Darcy theory with a general hysteresis model with graph dependent relative permeabilities and capillary pressures. The resulting initial and boundary value problem is solved analytically and numerically. The traditional Darcy theory as well as the hysteretic Darcy theory is investigated with the method of nonlinear semigroups. In case of the traditional Darcy theory with a specific initial condition existence, uniqueness and boundedness of solutions is shown. These previous solutions are applied on the hysteretic Darcy theory. Within a simplified hysteresis model and under adequate assumptions for the parameters and the initial condition and boundary values the existence and uniqueness of solutions is proven. For nonmonotone initial conditions these solutions are also nonmonotone. Furthermore, the Rankine-Hugoniot condition is used to study the propagation of nonmonotone saturation profiles. The result of this study is the existence of saturation overshoots with constant, broadening or shrinking overshoot plateaus depending on the material and fluid parameters and on the initial and boundary values. Also the hysteresis model influences the type of propagation, either as a travelling overshoot or with a broadening or shrinking plateau width. Additionally, the theoretical approach to describe propagation of saturation overshoots does not require gravitational acceleration. Therefore theoretically an overshoot can also occur during horizontal displacement processes. In the numerical part of the work simulations with a huge variation in the material and fluid parameters as well as the initial and boundary values and the hysteresis model were performed. The numerical simulations confirm the analytical results and moreover it is shown that the solutions are independent of hysteresis in the capillary pressure or the capillary coefficients. But the solutions strongly depend on the initial and boundary values. As a result the saturation overshoots develop qualitatively different time evolutions. Additionally, infiltration experiments are modelled within the hysteretic Darcy theory. The numerical solutions are in almost perfect agreement with the experimental data in terms of propagation velocities, overshoot width and overshoot height. Furthermore, the influence of the formulation of the Darcy theory is investigated numerically. For a suitable choice of boundary conditions the numerical solutions are almost identical and thus saturation profiles are independent of the formulation. Last but not least a first classification of saturation fingering during flow processes in two dimensions is done. Numerical simulations reveal that a saturation finger can only persist for larges times if there exists an overshoot in the finger tip. Here it is shown that the Darcy theory with hysteretic relative permeabilities suffices to describe travelling nonmonotone saturation profiles. Moreover, theoretically nonmonotone saturation overshoots with an increasing or decreasing plateau width exist. On the one hand it is necessary to continue theoretical investigations and numerical simulation on flow processes and saturation fingering in two dimensions. On the other hand experiments with quasi onedimensional porous media should be done to verify the theoretical results on non travelling overshoots. In cooperation with the Institute for Modelling Hydraulic and Environmental Systems (IWS) at the University of Stuttgart nonmonotone saturation profiles were calculated with two different numerical implementations and were compared, see Schneider et al (Transport in Porous Media 121 (2018), No.3). It is shown that the deviation of the numerical solutions are very small and therefore the propagation of saturation overshoots is independent of the numerical solution scheme.
Appears in Collections:08 Fakultät Mathematik und Physik

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Dissertation_Steinle_RouvenHannes.pdf19,55 MBAdobe PDFView/Open


Items in OPUS are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.