Optimierung eines Algorithmus zur Berechnung von Exzitoneigenzuständen in einem Kupferoxydul Quantentopf unter Verwendung einer B-Spline Basis

Abstract

Exzitonen sind Quasiteilchen, die unter anderem durch optische Anregung von Elektronen in Halbleitern entstehen. Sie wurden erstmals im Jahr 1931 von Frenkel und im Jahr 1937 von Wannier theoretisch beschrieben. Der experimentelle Nachweis in Kupferoxydul gelang Hayashi und Katsuki im Jahr 1950. Durch die hohe Rydbergenergie lassen sich Exzitonen in Verbindungen wie Kupferoxydul und GaAs gut untersuchen. Im Jahr 2014 gelang es der Experimentalphysikgruppe von M. Bayer in Dortmund, Exzitonen bis zur Hauptquantenzahl $n =25$ zu detektieren. Dadurch wuchs das Interesse zur Forschung an Rydbergexzitonen in Kupferoxydul. In dieser Arbeit werden Exzitonen in einem unendlich hohen Quantentopf betrachtet, in Anlehnung an Exzitonen in sehr dünnen Kristallschichten oder anderen Nanostrukturen. Durch den Einschluss von Exzitonen in solchen niedrigdimensionalen Halbleiterstrukturen können optische Nichtlinearitäten nutzbar gemacht werden. Die Untersuchung von Exzitonen in solchen Strukturen ist ein entscheidender Schritt, um diese Nichtlinearität für Anwendungen nutzbar zu machen. Für Exzitonen in einem solchen Quantentopf wird in dieser Arbeit das Energiespektrum berechnet, in dem der Hamiltonoperator in einer B-Spline-Basis numerisch diagonalisiert wird. Dabei wird die Bandstruktur vernachlässigt und mit einem wasserstoffartigen Modell gerechnet. Dazu existiert bereits ein von Pavel Belov entwickelter Algorithmus. Leon Kühner nutzte den Algorithmus bereits, um einige Zustände in Abhängigkeit von der Breite des Quantentopf zu bestimmen. Zudem verglich er die numerischen Ergebnisse mit den Ergebnissen von analytisch lösbaren Ansätzen. Ziel dieser Arbeit ist zum einen die Optimierung des ursprünglichen Algorithmus, um bei gleicher Rechenzeit eine bessere Konvergenz zu erzielen. Das optimierte Programm wird verwendet, um das Spektrum in Abhängigkeit von der Breite des Quantentopfs zu berechnen und zu analysieren. Zudem werden mithilfe der Stabilization Method auch die Positionen und Linienbreiten von Resonanzzuständen oberhalb der Kontninuumsschwelle berechnet.