Linear stability investigations of three-dimensional disturbances in the boundary layer over anisotropic compliant walls

Abstract

In dieser Arbeit werden dreidimensionale Störungen in der Grenzschicht über anisotropen nachgiebigen Wänden mit linearer Stabilitätstheorie untersucht. Ein oberflächenbasiertes Modell wird verwendet, um die nachgiebige Wand abzubilden. Hierbei wird das anisotrope Wandmodell von Carpenter erweitert, um einen zusätzlichen Schiebewinkel der Wand bezüglich der Strömungsrichtung einzubringen. Basierend auf diesem Wandmodell wird eine Randbedingung für die Lineare Stabilitätstheorie hergeleitet. Aufgrund der Tatsache, dass diese Randbedingung die Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung koppelt, wurden zwei neuartige Lösungsverfahren, ein Schießverfahren und ein Matrixlöser, für diesen besonderen Umstand entwickelt. Der Schießlöser transformiert das zugrunde gelegte Eigenwertproblem in ein Randwertproblem und verwendet ein klassisches Schießverfahren zur Lösung des Problems. Um das numerisch steife Problem mit seinem parasitärem Fehlerwachstum zu berücksichtigen beinhaltet das Lösungsverfahren eine Gram-Schmid Orthonormierungsroutine. Durch eine neuartige Skalierung der Phase des zu minimierenden Residuums wird das zeitliche und räumliche Modell robust und performant für gegebene Eigenmoden gelöst. Das durch die gekoppelte Orr-Sommerfeld- and Squire-Gleichung entstehende Eigenwertproblem wird auch mit einer Matrix-basierenden Methode gelöst. Das durch die nachgiebige Wand entstehende zeitliche quadratische Eigenwertproblem wird dabei berücksichtigt. Hierbei wird eine pseudospektrale Diskretisierung mit Chebyshev-Kollokation verwendet. Besonders betrachtet wird die Formulierung des diskretisierten Problems auf seine numerischen Fehler. Die numerische Genauigkeit der Lösungsverfahren wird genau überprüft, um die Gitterunabhängigkeit der Ergebnisse sicherzustellen. Um das Potenzial der nachgiebigen Wände zur Verzögerung des laminar-turbulenten Umschlags zu untersuchen, wurde die Vorgehensweise von Carpenter [15] übernommen. Carpenter optimierte die Parameter der nachgiebigen Wand so, dass Tollmien-Schlichting (TS) Moden so weit wie möglich abgeschwächt werden, während Fluid-Struktur (FISI) Moden grenzwertig stabil bleiben. Dieses Vorgehen wurde ausgewählt, weil Fluid-Struktur Moden absolut instabil sein können, was zu sofortigem Strömungsumschlag führen kann. Stabilitätsrechnungen wurden ausgeführt für zwei Sätze von Wandparametern, die Carpenter mit seinem zweidimensionalen Rahmenwerk optimiert hat. Hierbei wurden nicht nur dreidimensionale Störungen betrachtet, sondern es wurde auch der Einfluss des neu eingebrachten Schiebewinkels der nachgiebigen Wand untersucht. Die Ergebnisse wurden bezüglich der zeitlichen Anfachung der TS- und FISI-Moden, und bezüglich des mit N-Faktoren vorhergesagten Umschlagspunkts beurteilt. Es wird gezeigt, dass dreidimensionale Störungen bestimmte N-Faktoren vor ihren zweidimensionalen Pendants erreichen. Die vorhergesagte laminare Länge ist etwas kürzer als mit zweidimensionalen Verfahren vorhergesagt. Es scheint als ob der eingebrachte Schiebewinkel für die untersuchten Parametersätze keinen Vorteil bezüglich Laminarhaltung bringt. Schließlich wurden optimale Störungen berechnet, um das Transiente Energiewachstum für die anisotrope nachgiebige Wand zu untersuchen. Hierbei wurden die Anfangsverteilungen von Eigenmoden so optimiert, dass deren Überlagerung ein maximales Energiewachstum für eine vorgegebene Zeit erfährt. Die Einhüllende dieser optimalen Störungen wird dann für variierende Wellenzahlen in Strömungs- und Spannweitenrichtung, und variierende Wachstumszeit berechnet. Die Ergebnisse zeigen kein durch die nachgiebige Wand hervorgerufenes relevantes transientes Wachstum. Es wird gezeigt, dass der klassische Mechanismus für transientes Wachstum, der bei der steifen Wand dominiert, nicht verändert wird.