Classical and semiclassical approaches to excitons in cuprous oxide

Abstract

When an electron is excited from the valence into the conduction band it leaves behind a positively charged hole in the valence band to which it can couple through the Coulomb interaction. Bound states of electrons and holes, the excitons, are the solid state analogue of the hydrogen atom. As such they follow a Rydberg series. T. Kazimierczuk et al. [Nature 514, 343 (2014)] were able to show the existence of Rydberg excitons in cuprous oxide up to principle quantum number n=25. These states then have extensions in the µm range and thus lie in a region where the correspondence principle is applicable and quantum mechanics turns into classical mechanics. A more precise study of experimental spectra reveals significant deviations from a purely hydrogen-like behavior. These deviations can be traced to the complex valence band structure of cuprous oxide which inherits the cubic symmetry of the system. A theoretical description of the band structure introduces new degrees of freedom, i.e., a quasispin I=1 describing the three-fold degenerate valence band. Due to the coupling of quasispin and hole spin the valence band splits resulting in a yellow exciton series and two green exciton series with light and heavy holes. In this thesis we provide a semiclassical interpretation for excitons in cuprous oxide beyond the hydrogen-like model. To this end we introduce an adiabatic approach diagonalizing the band structure part of the Hamiltonian in a basis for quasi- and hole spin. This leads to a description via energy surfaces in momentum space, which correspond to the different exciton series. Classical dynamics can be calculated by choosing the energy surface of the series under interest and integrating Hamilton's equations of motion. Due to the energy surfaces the symmetry is drastically reduced compared to the hydrogen-like problem now allowing for the existence of fully three-dimensional orbits as well as the possibility of chaotic dynamics. For the yellow exciton series we find mostly regular phase space regions with quasi-periodic motion on near-integrable tori and small chaotic phase space regions. To demonstrate the existence of classical exciton orbits in the quantum spectra we show that the quantum mechanical recurrence spectra exhibit peaks, which, by application of semiclassical theories and a scaling transformation, can be directly related to classical periodic exciton orbits. An analysis of the energy dependence reveals that the dynamics deviations' from a purely hydrogen-like behavior increase with decreasing energy. Starting from the full Hamiltonian we develop a spherical model from which we are able to derive the quantum defects of the yellow exciton series using a semiclassical torus quantization. A comparison with quantum mechanical calculations show good agreement with our semiclassical results, thus allowing to identify individual quantum states by a corresponding classical exciton orbit in analogy to Bohr's atomic model. Finally, we provide a comparison of yellow exciton series with the two distinct green exciton series. The phase space is analyzed by application of Poincaré surfaces of section and Lagrangian descriptors. In addition, we investigate the Lyapunov stability of individual orbits. The analysis reveals the existence of a classically chaotic exciton dynamics for both yellow and green excitons, however, the chaotic regions are more pronounced for the green than for the yellow excitons. Excitons in cuprous oxide thus provide an example of a two-particle system with chaos even without the application of external fields.

Wird ein Elektron vom Valenzband in das Leitungsband angeregt, so lässt es ein positiv geladenes Loch im Valenzband zurück, welches mit dem Elektron über die Coulomb-Wechselwirkung interagiert. Dadurch können sich gebundene Zustände, die Exzitonen, bilden. Diese können als Analogon des Wasserstoffatoms im Festkörper betrachtet werden. Als Solches lässt sich für die Exzitonen eine Rydberg-Serie beobachten. Während in den meisten Halbleitern nur die niedrigsten Zustände experimentell zugänglich sind, konnte für Kupferoxydul eine solche Serie von T. Kazimierczuk et al. [Nature 514, 343 (2014)] bis zu Hauptquantenzahlen von n=25 nachgewiesen werden. Diese Zustände erreichen Ausdehnungen im µm Bereich und liegen damit in einer Region, in der das Korrespondenzprinzip greifen sollte und quantenmechanische Eigenschaften sich über klassische Dynamik verstehen lassen. Eine genauere Untersuchung der Spektren von Kupferoxydul zeigt Abweichungen von einem reinen wasserstoffartigen Verhalten. Diese Abweichungen lassen sich auf die komplexe Bandstruktur von Kupferoxydul zurückführen, welche die kubische Symmetrie des Kristalls trägt. Zur theoretischen Beschreibung des Systems wird ein Quasispin I=1 eingeführt, welcher das dreifach entartete Valenzband beschreibt. Durch die Kopplung des Quasispins an den Spin des Lochs im Valenzband spaltet das Valenzband auf, was zu einer gelben und zwei grünen Exzitonenserien mit leichten und schweren Löchern führt. In dieser Doktorarbeit entwickeln wir eine semiklassische Interpretation für Exzitonen in Kupferoxydul, die über die wasserstoffartige Beschreibung hinaus geht. Dazu wird ein adiabatischer Ansatz eingeführt, wobei die Terme des Hamiltonians welche die Bandstruktur beschreiben, in einer Basis für den Quasi- und Lochspin diagonalisiert werden. Dies führt auf eine Beschreibung über Energieflächen im Impulsraum, wobei sich diese Energieflächen direkt den verschiedenen Exzitonenserien zuordnen lassen. Um klassische Exzitonenbahnen zu berechnen, wählt man nun die Energiefläche für die zu betrachtende Serie und löst dann die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Da die Energieflächen die kubische Symmetrie des Systems aufweisen, wird die Symmetrie gegenüber einem wasserstoffartigem System stark reduziert, was die Existenz drei-dimensionaler Bahnen und chaotischer Dynamik ermöglicht. Für die gelbe Serie beobachten wir einen fast vollständig regulären Phasenraum, der sich durch quasiperiodische Bewegung auf regulären Torusstrukturen auszeichnet, sowie kleine chaotische Bereiche. Um nun die Existenz einer solchen klassischen Exzitondynamik in den quantenmechanischen Spektren nachzuweisen, führen wir eine Skalierungstechnik ein. In der Fouriertransformierten der skalierten quantenmechanischen Spektren lassen sich die Peaks dann, mithilfe semiklassischer Theorien, durch klassische Bahnen erklären. Dabei zeigt sich, dass die Abweichung von einem reinen wasserstoffartigen Verhalten am Größten ist für niedrige Energien. Ausgehend vom vollen Hamiltonian mit kubischer Symmetrie entwickeln wir ein sphärisches Modell, über das wir die Quantendeffekte der gelben Serie über eine semiklassische Torusquantisierung berechnen. Ein Vergleich mit quantenmechanischen Rechnungen zeigt dabei eine gute Übereinstimmung mit unseren semiklassischen Resultaten und erlaubt somit eine Zuordnung von Exzitonenbahnen zu den entsprechenden Quantenzuständen, ähnlich wie im Bohrschen Atommodell. Abschließend stellen wir die Dynamik der gelben und grünen Exzitonenserie gegenüber. Dazu analysieren wir den Phasenraum mithilfe von Poincaré-Schnitten in den Symmetrieebenen und Lagrange-Deskriptoren. Außerdem betrachten wir die Lyapunov-Stabilität ausgewählter Orbits. Dabei zeigt sich die Existenz chaotischer Bereiche sowohl für die gelbe als auch die grüne Serie, die chaotischen Anteile sind jedoch für die grüne Serie deutlich größer als für die gelbe Serie. Es zeigt sich somit, dass Exzitonen in Kupferoxydul ein Zweikörperproblem darstellen, in dem auch bereits ohne den Einfluss äußerer Felder Chaos auftritt.