Geometrische Modellierung mit Simplizialkomplexen : vom CAD-Modell zur numerischen Analyse

Abstract

Im Zentrum steht die geometrische Modellierung eines Körpers als Grundlage für numerische Berechnungsverfahren, die sich auf elliptische partielle Differentialgleichungen gründen. Hierzu wird die geometrische Modellierung mit Simplizialkomplexen untersucht. Die Zielsetzungen, die mit einer Volumenmodellierung verbunden sind, beeinflussen die Umsetzung einer Lösung in erheblichen Maße. Deshalb werden zunächst die Modelle eingeführt, welche für die numerischen Berechnungsverfahren eine Rolle spielen. Ein großer Teil der Arbeit widmet sich den nötigen Grundlagen aus dem Gebiet der Mathematik. Während die Topologie vor allem für die Volumenmodellierung wichtig ist, hat die Interpolation auch in der Numerik einen hohen Stellenwert. Partielle Differentialgleichungen, die ebenfalls kurz abgehandelt werden, bilden den Kern vieler Ingenieurprobleme. Um eine Form der geometrischen Modellierung beurteilen zu können, muß sie mit alternativen Verfahren verglichen und beurteilt werden. Der Simplizialkomplex basiert auf einer Delaunay-Triangulierung, die in einem separaten Kapitel behandelt wird. Zum Abschluß wird ein auf einem Delaunay-Simplizialkomplex aufbauender Hybridmodellierer vorgestellt.

The main topic is the geometric modeling of a solid for numerical methods dealing with elliptic partial differential equations. For this purpose geometric modeling with simplicial complexes will be examined. The objective adressed with solid modeling have a big influence on the design of a solution. Therefore the models used in the numerical methods are introduced. A substantial part of the work is related to necessary fundamentals in the field of mathematics. Whereas topology is mostly important for solid modeling, interpolation also plays an important role in numerics. There are a lot of problems in engineering related to partial differential equations, which are also mentioned. To rate a method of geometric modeling the comparison and review of known methods in this field is needed. The simplicial complex is based on a Delaunay triangulation, which is the topic of another chapter. Finally a hybrid modeler based on Delaunay simplicial complexes is presented.