Stabilität und große Verschiebungen in der Topologie- und Formoptimierung

Abstract

Die anhand der Strukturoptimierung generierten Tragwerke sind bezüglich den getroffenen Annahmen für den Optimierungsprozess optimal. Aus diesem Grund müssen alle diejenigen Effekte im Optimierungsprozess aufgenommen werden, welche einen bedeutenden Einfluss auf das Ergebnis haben können. Mit der Berücksichtigung einer nichtlinearen Kinematik können zwei Phänomene beschrieben werden. Zum einen ist es die nichtlineare Beziehung zwischen Einwirkung und Strukturantwort. Zum anderen können kritische Punkte einer Struktur bestimmt werden. Ein Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die Annahme von großen Verschiebungen bei der Topologieoptimierung. Auf der Basis der nichtlinearen Kinematik können verschiedene Steifigkeitskriterien entwickelt werden. Für die materielle Topologieoptimierung wird ein Vorschlag unterbreitet, anhand dessen lokale Entwurfskriterien ohne explizite Abhängigkeit zu den Entwurfsvariablen berücksichtigt werden können. Zur Generierung von flexiblen Strukturen werden zwei Problemstellungen untersucht. Bei den Transport-Mechanismen ist das Ziel, die Aktuatorleistung so gut wie möglich auf ein Werkstück zu übertragen. Es wird gezeigt, dass die Erweiterung auf eine nichtlineare Kinematik zu einem besseren Verhältnis zwischen Aktuatorleistung und der im Werkstück gespeicherten Dehnungsenergie führt. Auf der gleichen Annahme werden Pfad\-verfolgungsmechanismen entworfen, welche einer gekrümmten Bahn folgen können. Zur Erzielung einer möglichst eindeutigen Materialverteilung im Entwurfsraum werden verschiedene Steifigkeitskriterien, welche den Kontakt mit dem Werkstück approximativ beschreiben, diskutiert. Um Strukturen zu generieren, welche für ein vorgegebenes Sicherheitsniveau kein Instabilitätsverhalten aufzeigen, werden kritische Lasten anhand zweier verschiedener Verfahren ermittelt. Eine Abschätzung der kritischen Laststufe erfolgt durch eine lineare Eigenwertanalyse und wird als Nebenbedingung in das Optimierungsproblem eingearbeitet. Um auch bei nichtlinearem Vorbeulverhalten eine gute Vorhersage zu erhalten werden in einem nächsten Schritt kritische Punkte direkt mit einem erweiterten System berechnet. Hierdurch kann auch die Antwort imperfekter Strukturen berücksichtigt werden, wobei diese in der Regel ein stark nichtlineares Vorbeulverhalten aufweisen. Anhand der vorgestellten Verfahren werden ebenfalls maßgebende Imperfektionsformen generiert. Die nichtlinearen Optimierungsaufgaben werden unter Zuhilfenahme gradientenbasierter Verfahren gelöst. Für alle Fragestellungen werden die Sensitivitäten auf Basis des adjungierten Ansatzes hergeleitet. Zur effizienten Lösung der Entwurfsaufgaben werden Anmerkungen zur Nutzung der Potentialeigenschaft gemacht. Anhand von ausgewählten Beispielen werden die vorgestellten Entwurfsaufgaben und die algorithmische Umsetzung verifiziert.

Structures generated by structural optimization are optimal with regard to the assumptions made for the optimization process. Therefore, all effects that could have a significant influence on the result have to be included in the optimization process. Taking non-linear kinematics into consideration, two phenomena can be described. Firstly, the non-linear relation between effect and structural response. Secondly, critical points of a structure can be determined. A main focus of this thesis is the assumption of large displacements in topology optimization. Several stiffness criteria can be developed on the basis of the non-linear kinematics. For material topology optimization a proposal is made that allows local design criteria to be taken into consideration without explicit dependency on the design variables. In order to generate flexible structures two types of the problem will be investigated. For transport mechanisms, the object is to transfer the actuator power in the best way as possible to a work piece. It is shown that the enhancement towards non-linear kinematics yields a better relationship between the actuator power and the strain energy stored in the work piece. Based on the same assumption path tracing mechanisms are designed, which can follow a curved path. To achieve the clearest possible material distribution in the design space, various stiffness criteria are discussed that describe approximately the contact of actuator and work piece. To create structures that do not show unstable behavior for a prescribed safety level, critical loads are determined using two different methods. The critical load level is estimated by a linear eigenvalue analysis and is incorporated into the optimization problem as a constraint. In the next step, critical points are calculated directly with an extended system in order to obtain a good prediction even for non-linear pre-buckling behavior. This also allows taking into consideration the response of imperfect structures, which generally show a strong non-linear pre-buckling behavior. The method presented is also utilized to generate the decisive imperfection shape. Non-linear optimization problems are solved using gradient-based methods. For all problems the sensitivities are determined on the basis of the adjoint approach. Further more, the use of potential character in finding efficient solutions to the design problems are commented. Finally, the design cases presented and the algorithmic implementation are verified by selected examples.