Robust methods for fluid-structure interaction with stabilised finite elements

Abstract

Various multifield problems and among them fluid-structure interaction applications arise in nearly all fields of engineering. The present work contributes to the development of a stable and robust approach for the numerical simulation of fluid-structure interaction problems. In particular two-dimensional and three-dimensional elastic structues interacting with incompressible flow are considered. The structural field is governed by the nonlinear elastodynamic equations while the dynamics of the fluid field are described by the incompressible Navier-Stokes equations. Both fields are discretised by finite elements in space and finite difference methods in time. An iteratively staggered partitioned coupling procedure with relaxation is applied to obtain the overall coupled solution. This work focuses on methodological aspects and contributes to a deeper understanding of the theoretical foundations of the approach. This is necessary to ensure that the formulation is stable and offers reliable results for a wide range of parameters. In particular the flow solver formulated in an arbitrary Lagrangean Eulerian approach is considered. In addition to the classical conservation laws of mass, linear momentum and energy geometric conservation has to be considered. This is a consequence of the formulation of the flow equations with respect to a moving frame of reference. The relationship of these conservation laws and the stability of the numerical scheme is investigated and stability limits in terms of maximal time step sizes for different formulations are established. It is further shown how an unconditionally stable ALE formulation has to be constructed. Another key issue is the stabilised finite element method employed on the fluid domain. The derivation of the method from a virtual bubble approach is revisited while special attention is turned to the fact that the domain is moving. A version of the stabilisation is derived which is nearly unaffected by the motion of the frame of reference. Further the sensitivity of the stabilised formulation with respect to critical parameters such as very small time steps, steep gradients and distorted meshes is assessed. At least for higher order elements where full consistency of the formulation is assured very accurate results can be obtained on highly distorted meshes. As another main issue the coupling of fluid and structure within a partitioned scheme is considered. A first concern in this context is the exchange of proper coupling data at the interface which is crucial for the consistency of the overall scheme. Subsequently the so-called artificial added mass effect is analysed. This effect is responsible for an inherent instability of sequentially staggered coupling schemes applied to the coupling of lightweight structures and incompressible flow. It is essentially the influence of the incompressibilty which excludes the successful use of simple staggered schemes. The analysis derived in the course of this work reveals why the artificial added mass instability depends upon the mass ratio but further on the specific time discretisation used on the fluid and structural field. In particular it is shown why more accurate temporal discretisation results in an earlier onset of the instability. While the theoretical considerations are accompanied by small numerical examples highlighting particular aspects some larger applications of the method are finally presented.

In nahezu allen Bereichen des Ingenieurwesens treten Mehrfeldprobleme auf, zu denen auch Fluid-Struktur-Interaktionen (FSI) zu zählen sind. Diese Arbeit trägt zur Entwicklung eines stabilen und robusten numerischen Verfahrens zur Lösung solcher FSI-Probleme bei. Hier werden speziell zwei- und dreidimensionale Strukturen betrachtet, die in Wechselwirkung mit inkompressiblen Flüssigkeiten treten. Dabei ist das Strukturverhalten durch die nichtlinearen Gleichungen der Elastodynamik bestimmt. Die Dynamik des Fluids wird durch die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Beide Felder werden mit Hilfe finiter Elemente im Raum und mittels Differenzenverfahren in der Zeit diskretisiert. Um das gekoppelte Problem zu lösen, kommt ein iterativ gestaffeltes partitioniertes Kopplungsverfahren mit Relaxation zum Einsatz. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf methodischen Aspekten. Insbesondere sollen die theoretischen Grundlagen des numerischen Verfahrens verbessert werden. Dabei ist das Ziel sicherzustellen, daß das Verfahren stabil läuft und für einen weiten Parameterbereich Ergebnisse von verläßlicher Genauigkeit liefert. Besondere Aufmerksamkeit gilt dem Fluidlöser, der in "Arbitrary Lagrangean Eulerian" (ALE) Betrachtungsweise formuliert ist. Das Verhalten des Fluids wird also in Bezug auf ein bewegtes Koordinatensystem beschrieben. Daher gilt es hier, neben den klassischen Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie auch die geometrische Erhalung zu beachten. Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Erhaltungssätzen und der Stabilität des numerischen Verfahrens wird untersucht und es können Stabilitätsgrenzen in Form von maximalen Zeitschrittweiten für verschiedene Verfahren angegeben werden. Weiterhin kann gezeigt werden, wie ein unbedingt stabiles ALE Verfahren formuliert werden muß . Ein nächstes Schwerpunktthema ist das stabilisierte Finite-Element-Verfahren auf dem bewegten Gebiet. Es wird eine Version des Stabilisierungsverfahrens hergeleitet, deren Stabilität von der Netzbewegung nahezu unberührt bleibt. Weitere Untersuchungen betreffen die Empfindlichkeit des Verfahrens in Bezug auf kritische Parameter wie sehr kleine Zeitschritte, steile Gradienten oder auch stark verzerrte Netze. Für Elemente höherer Ordnung ist das stabilisierte Verfahren vollständig konsistent. Es wird gezeigt, daß mit solchen Elementen auch auf deutlich verzerrten Nezten sehr genaue Ergebnisse erzielt werden können. Besonderes Augenmerk wird auch auf die Fluid-Struktur-Kopplung im Rahmen partitionierter Verfahren gelegt. In diesem Zusammenhang betrifft eine erste Frage den Austausch genauer und methodisch konsistenter Kopplungsinformation an der Grenzfläche zwischen Fluid und Struktur. Weiterhin wird der sogenannte "artificial added mass effect" analysiert. Dieser Effekt bezeichnet die inherente Instabilität, die bei sequentiell gestaffelten Verfahren auftritt, wenn leichte Strukturen mit inkompressiblen Fluiden gekoppelt werden. Dabei ist letztendlich die Inkompressibilität dafür verantwortlich, daß einfache sequentiell gestaffelte Verfahren nicht erfolgreich verwendet werden können. Die mathematische Analyse, die im Rahmen dieser Arbeit vorgenommen wird, zeigt, warum die Instabilität nicht nur vom Massenverhältnis der beteiligten Kontinua, sondern auch von der Zeitdiskretisierung der Felder abhängt. Es wird deutlich, warum genauere zeitliche Diskretisierungsansätze ein früheres Eintreten der Instabilität zur Folge haben. Die theoretischen Ergebnisse werden durch begleitende kleine Beispielrechnungen veranschaulicht. Einige größere Anwendungen des Verfahrens werden am Schluß der Arbeit präsentiert.