Divergenzkorrekturen und asymptotische Untersuchungen bei der numerischen Simulation idealer magnetohydrodynamischer Strömungen

Abstract

Es werden Lösungsansätze für zwei wesentliche Problembereiche bei der Simulation kompressibler idealer magnetohydrodynamischer Strömungen entwickelt: - Schwach kompressible Strömungen, - Auftreten magnetischer Monopole in der numerischen Lösung. Für den erstgenannten Problembereich wird ein Ansatz aus der schwach kompressiblen Gasdynamik für die MHD adaptiert. Es werden Methoden der asymptotischen Analyse verwendet, um den Übergang von der Kompressibilität zur Inkompressibilität zu untersuchen. Aufgrund der Ergebnisse der Analyse wurden Vorschläge für numerische Verfahren entwickelt. In dieser Arbeit wird nachgewiesen, daß sich im Fall kleiner Machzahlen die Konstruktion eines Verfahrens aus der schwach kompressiblen Gasdynamik für die MHD direkt übernehmen läßt. Nun wird eine MHD-Strömung aber auch dann schwach kompressibel, wenn die Alfvenzahl klein wird. In dieser Arbeit wird nun gezeigt, daß auch für den Fall kleiner Alfvenzahlen sowohl für den eindimensionalen Fall als auch für zweidimensionale Spezialfälle mithilfe der Mehrskalenanalyse der Übergang zur Inkompressibilität untersucht werden kann. Hieraus wird jeweils die Konstruktion eines numerischen Verfahrens abgeleitet. Dieses kann auch als Vorlage für Verfahren dienen, welche allgemeine dreidimensionale Strömungen kleiner Alfvenzahl approximieren, aber der gewählten Analysis nicht zugänglich sind. Für das Problem magnetischer Monopole werden in der vorliegenden Arbeit Methoden konstruiert, welche die Divergenzbedingung an das Magnetfeld zu einem inhärenten Teil des Evolutionsoperators machen. Hierfür wird der GLM-Ansatz für das elektrische Feld bei den Maxwellgleichungen auf die MHD übertragen und um eine neue, die gemischte GLM-Korrektur, erweitert. Es gelingt, ein allgemeines Modell aufzustellen, das neben der GLM-Korrektur auch die Powell-Korrektur als Spezialfall enthält. Überdies lassen sich verbesserte Versionen der Powell-Korrektur angeben. Der Ansatz wird anhand eines reduzierten Testsystems entwickelt und ist so allgemein, daß er wiederum auf die Maxwellgleichungen angewandt werden kann. Für die zu wählenden Parameter werden auf analytischem Wege Schätzungen hergeleitet, welche die Wirksamkeit der jeweiligen Divergenzkorrekturmethode optimieren. Die theoretischen Vorhersagen werden mittels numerischer Tests sowohl für das Testsystem als auch für die volle MHD verifiziert.

We give new solutions to two major problems encountered in the simulation of compressible ideal MHD flows. - Weakly compressible flows - Magnetic monopoles occurring in the numerical solution For the first problem, the simulation of weakly compressible flows, we adapt an approach from gas dynamics~\cite{Klein} in order to solve the MHD equations. Asymptotic analysis is applied to investigate the transition from compressible to incompressible flows. Using the results of this analysis, a numerical scheme based on an operator splitting is constructed. Results of this thesis show that in the case of small Mach number it is possible to adapt the construction of a numeric scheme from gas dynamics directly. Also for low Alfven number the flow becomes weakly compressible. Here we show that for one dimensional situations and also for certain two dimensional cases it is still possible to employ multiscale asymptotics in order to investigate the transition from compressible to incompressible flows. This gives rise for the construction of a numerical scheme based on an operator splitting. The splitting shows up some similarities with the splitting for low Mach numbers and can also be applied to the full three dimensional case. In this way we find an approach to the numerical treatment of phenomena which couldn't be simulated reasonably up to now. For the Problem of magnetic monopoles emerging in numerical simulations we construct methods to make the divergence condition an inherent part of the evolution operator. Therefore we transfer the GLM approach originally developed for the Maxwell equations to the case of MHD. We extend it to a general model, that contains GLM and Powell correction as well. This is used to develop enhanced versions, both of the GLM and the Powell correction. The new approach is developed by using a simplified system. It is a general approach and can therefore be also applied to the Maxwell equations.