Development of a post-optimality analysis algorithm for optimal control problems

Abstract

The description of technical problems in the form of optimal control problems is becoming increasingly popular. And the assessment and evaluation of the obtained optimal solutions is developing into a key competence. This dissertation departs from such an optimal solution. By means of post-optimality analysis an earlier obtained optimal solution is processed, in order to allow a user to efficiently produce information about optimality criteria, the main factors that influence the solution and, in consecutive steps about neighboring solution spaces.

The developed algorithm exploits methods from the domain of nonlinear optimization for the transcription of the optimal control problem. This procedure is made generic in the sense that different parameterization schemes are incorporated, ranging from collocation to multiple shooting. The basis of consecutive post-optimality analysis is a parameterized sensitivity analysis. First and second order evaluation takes efficiently advantage of data that has already been computed during the process of the prior optimization. Data that is not readily available, like the Hesse matrix is newly computed.

The developed algorithm identifies sensitivities of the cost function within the existing problem description, but also permits to investigate the influence of variations in non optimizable parameters, equality or inequality constraints on the solution space. The latter includes the prediction of changes in the active set of constraints due to finite variations. Under full consideration of optimality conditions and the trust radius, the solution of neighboring problems is predicted. Thus, post-optimality analysis is not only suitable for evaluation of already computed optimal solutions. It also provides an efficient alternative to consecutive optimization of varied problem descriptions.

In order to demonstrate the benefits of post-optimality analysis for modern comprehensive problems, the algorithm is applied to two typical aerospace problems. These are an optimal entry of the reusable launch vehicle HOPPER, and ascent trajectories of Ariane 5 with several payload configurations. Robustness and cost quality of the current design is evaluated and potential for improvement quantified. Further, the added value is demonstrated that the newly developed algorithm for post-optimality analysis provides in the area of optimal control problems.

Die Beschreibung von technischen Fragestellungen in Form von Optimalsteuerungsproblemen wird zunehmend zu einem populären Werkzeug. Dabei zeigt sich, dass die Aufbereitung und Auswertung der gefundenen optimalen Lösung eine Schlüsselkompetenz darstellt. Die vorgelegte Arbeit setzt hier an. Mittels post-optimaler Analyse wird eine zuvor ermittelte optimale Lösung so weiterverarbeitet, dass der Anwender auf effizientem Wege zusätzliche Daten über Optimalitätsverhalten, Einflussfaktoren und, in weiteren Schritten, über benachbarte Lösungsräume erhält. Der entwicklte Algorithmus nutzt Verfahren aus der Nichtlinearen Optimierung zur Transkription des Optimalsteuerungsproblems. Dieser Vorgang ist insofern generisch gehalten, als verschiedene Parametrisierungsschemata der Kollokation, wie auch der Mehrzielverfahren implementiert sind. Eine darauf aufbauende parametrisierte Sensitivitätsanalyse dient als Grundlage für die eingehende post-optimale Analyse. Für die Untersuchungen erster und zweiter Ordnung wird zur Effizienzsteigerung und Erhöhung der Transparenz, soweit möglich, auf bereits vorhandene Basisdaten zurückgegriffen. Nicht verfügbare Daten, wie etwa Hesse-Matrix, werden neu berechnet. Der entwickelte Algorithmus identifiziert Sensitivitäten der Kostenfunktion innerhalb der bestehenden Problembeschreibung und erlaubt darüber hinaus Aussagen zur Beeinflussung des Lösungsraumes durch die Variation nicht optimierbarer Parameter bzw. Gleichungs- oder auch Ungleichungsbeschränkungen. Letztere Fähigkeit schließt die Prädiktion des Einflusses von finiten Variationen auf die Zusammensetzung des Set der aktiven Beschränkungen ein. Daraus wird dann unter Einschluß von Optimalitätsaspekten und Angabe über den Vertrauensbereich, die Lösung benachbarter Entwurfsräume vorhergesagt. Damit ist die post-optimale Analyse nicht nur zur besseren Bewertung bereits ermittelter Lösungen geeignet, sondern bietet auch eine effiziente Alternative zur konsekutiven Optimierung, variierter Problemstellungen. Um den Nutzen der post-optimalen Analyse für umfassende, moderne Anwendungen zu demonstrieren, wird der neue Algorithmus auf zwei typische Probleme aus der Raumfahrt angewendet. Es handelt sich um die optimale Wiedereintrittsbahn des wiederverwendbaren Transportfahrzeuges HOPPER, sowie um optimale Aufstiegsbahnen einer Ariane 5 bei unterschiedlichen Nutzlast-Konfigurationen. Dabei werden Robustheit und Güte der bisherigen Entwürfe bewertet und das Verbesserungspotential quantifiziert. Außerdem wird demonstriert, welchen zusätzlichen Nutzen der neu entwickelte Algorithmus zur post-optimalen Analyse im Bereich von Optimalsteurungsproblemen hat.