Analyse der Belastung und Beanspruchung von konischen Stirnrädern in kreuzender Achslage

Abstract

In dieser Arbeit wurden neue numerische und analytische Methoden für die Ermittlung der Lastverteilung und Beanspruchung von Beveloidrädern in kreuzender Achslage entwickelt und vorgestellt. Beveloidräder gehören, ebenso wie die bekannten Stirnräder, zur Gruppe evolventischer Zahnräder, da sie mit den gleichen zahnstangenartigen Werkzeugen gefertigt werden können. Die Zahnform ist aufgrund der über der Breite veränderlichen Profilverschiebung variabel. Im Gegensatz zu Stirnrädern ermöglichen Beveloidräder eine kreuzende Achsanordnung. Abhängig von der gewählten Zahnbreite und den Profilverschiebungswinkeln kann ein Achswinkel von bis zu 20° realisiert werden. Die kämmenden Zahnflanken berühren sich in der Regel punktförmig, woraus eine Konzentration der Belastung und Beanspruchung resultiert. Aus diesen Gründen sind Auslegungsmethoden und Simulationsprogramme anderer Zahnradformen nicht ohne Weiteres auf Beveloidräder anwendbar. Nicht zuletzt deshalb ist der Einsatz von Beveloidrädern im Maschinenbau deutlich weniger verbreitet als der von Stirn- oder Kegelrädern. Abwandlungen von Auslegungsprogrammen anderer Zahnformen, welche die geometrischen Besonderheiten von Beveloidrädern berücksichtigen sollen, befinden sich in der Entwicklung. Die darin enthaltenen Berechnungsmodelle, wie beispielsweise die FEM, erfordern für ihre Anwendung verschiedene Formen von Aufwand, etwa Rechenzeitbedarf, Kosten für die Lizenz der Software und Nutzerkenntnisse. Für eine breite Anwendung von Beveloidverzahnungen in unterschiedlichsten Einsatzbereichen ist daher eine analytische Methode besonders vorteilhaft, mit der die Beanspruchung einer Verzahnung ohne Computersimulationen bestimmt werden kann. Zur detaillierten strukturmechanischen Analyse der Beanspruchungen von Beveloidverzahnungen und zur Überprüfung eines analytischen Ansatzes wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Simulation mithilfe der Finiten-Elemente-Methode entwickelt. Dazu wurde das „Simulationsprogramm für Konische Stirnräder SimKoS“ des Instituts für Konstruktionstechnik und Technisches Design der Universität Stuttgart um eine Daten- und Steuerungsschnittstelle zum kommerziellen FE-Programm „ANSYS“ erweitert. Mit der Skriptsprache „APDL“ konnte das Vorgehen automatisiert und dadurch der Zeitbedarf zur Modellerzeugung und Ergebnisauswertung von mehreren Tagen auf wenige Sekunden reduziert werden. Das Vorgehen wurde an Stirnrädern getestet und die Ergebnisse mit analytischen Rechnungen nach [DIN3990] verglichen. Innerhalb von Screening-Versuchen für eine Vielzahl von Verzahnungen zeigte sich eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse. Mittels FE-Analysen konnte die Steifigkeit von Beveloidrädern systematisch untersucht werden. Aufgrund der Stirnschnittform ergeben sich zu Stirnrädern abweichende Steifigkeiten. Zur vereinfachten Ermittlung der Steifigkeit von Beveloidradstirnschnitten wurden Korrekturwerte definiert, welche die für Stirnräder in [DIN3990] enthaltenen Berechnungsgleichungen für Beveloidräder anpassen. Für die analytische Berechnung der Breitenlastverteilung und Fußbeanspruchung von Beveloidrädern in kreuzender Achslage wurde ein Rechenmodell vorgestellt. Das Modell vereinfacht die räumliche Beveloidradgeometrie durch eine Diskretisierung auf eine Reihung scheibenförmiger, ebener Stirnradpaarungen. Aufgrund der charakteristischen Diskretisierung wird das Modell als Scheibenmodell bezeichnet. Die Berechnung der Lastverteilung erfolgt innerhalb des Scheibenmodells mithilfe einer Analogie zu Druckfedern und den für Beveloidrädern angepassten Steifigkeitswerten. Für die Bestimmung der Fußspannung wird der Berechnungsansatz nach [DIN3990] und die ermittelten Breitenlastfaktoren verwendet. Ein Einsatz von Computerprogrammen ist dazu nicht erforderlich. Das Scheibenmodell bestimmt die höchste Fußbeanspruchung der Verzahnung, führt aber keine lokale Beanspruchungsanalyse wie etwa höherwertige Rechenverfahren durch. Die Ergebnisse des Scheibenmodells wurden durch Messungen an Beveloidrädern überprüft. Anhand von sechs verschiedenen Verzahnungen wurden die Ergebnisabweichungen zwischen den numerischen und analytischen Berechnungen bestimmt. Variiert wurden der Achswinkel, die Belastung, die aufgebrachten Flankenmodifikationen, die Tragbildlage und der Schrägungswinkel. Das Scheibenmodell ergab im Vergleich zu den Messungen ein um höchstens 9 % abweichendes Ergebnis und ist damit konservativ. Die Abweichung der FE-Simulation zu den Messungen war stets geringer. Damit sind die numerischen und analytischen Berechnungen anhand von Messungen bestätigt. Die Überprüfung des analytischen Scheibenmodells wurde durch die Simulation weiterer Beveloidverzahnungen in Screening-Versuchen systematisch ergänzt. Dabei zeigte sich, dass ein Achswinkel bis 10° im vorgestellten Rechenansatz keinen wesentlichen Einfluss auf die Ergebnisgüte besitzt. Für Schrägungswinkel von 10° betrugen die Abweichungen zwischen den analytisch und numerisch bestimmten Werten im Mittel ca. 6 % und bei einem Schrägungswinkel von 20° ca. 11 %. Die vorgestellten numerischen und analytischen Berechnungsverfahren unterstützen den Konstrukteur bei der Verzahnungsauslegung direkt und methodisch. Mit dem analytischen Ansatz ist die Berechnung wesentlicher Kenngrößen wie der Steifigkeit im Stirnschnitt, die Breitenlastverteilung und die Fußbeanspruchung möglich. Bisher nötige Abschätzungen von Kenngrößen sind bei der Berechnung nicht mehr erforderlich. Die Größenordnung der Ergebnisunterschiede im Vergleich zu höherwertigeren Rechenverfahren ist vergleichbar zur analytischen Auslegung von Stirnrädern nach DIN 3990. Die erzielten Ergebnisse können im Rahmen der Verzahnungsauslegung in einen nachfolgenden Tragfähigkeitsnachweis einfließen, beispielsweise für Anwendungsfelder, bei denen die Momentübertragung im Vordergrund steht, wie etwa Stellantriebe. Für Anwendungen mit weiteren Anforderungen, wie etwa geräuschreduzierte Verzahnungen, steht mit dem Scheibenmodell ein zusätzliches Auswahlkriterium möglicher Auslegungsvarianten im Vorfeld weiterführender Untersuchungen zur Verfügung. Das Vorgehen zur Auslegung ist mithilfe des Scheibenmodells deutlich strukturierter, methodisch fundiert, eindeutig dokumentiert und weniger aufwändig.

In this thesis, a numerical and analytical method calculating the load distribution and stresses is presented. Beveloid gears are a special type of involute gears. They can be produced with the same tools like the well-known involute spur gears. The variable addendum modification along the tooth width results in a conical shape and changing forms of the transverse sections. It is possible to assemble a beveloid gear set with an axis intersection angle up to 20°. Because of the complex tooth geometry, there is point contact between the flanks of meshing gears. This causes a non-uniformed load distribution over the tooth width and results in high stresses. The contact conditions are comparable to bevel gears. For these reasons, load carrying calculation methods of other gear types cannot be transferred to beveloid gears easily. Finite-element software is a possible way for calculating stresses of any complicated geometry. The FE-method is able to consider the complex tooth form of beveloid gears fundamentally. The disadvantages of the finite-element method are the demands for a high-quality model and the time consumption for preparation, calculation and interpretation of the analysis. Due to this, the simulation of beveloid gears is expensive and the use of that gear type is less common than spur gears or bevel gears. For a calculation of the load distribution and stresses of beveloid gears without using expensive computer power, an easy analytical method is needed. An approach for that is presented in this thesis. First, a high-quality structural mechanics analysis for defining and validating the analytical approach was needed. This was realized by using the finite-element method. Therefore, the “simulation program for conical spur gears SimKoS” of the Institute for Engineering Design and Industrial Design (IKTD) of the University of Stuttgart was extended to an interface to the FE-program “ANSYS”. The problem of much time consumption in pre- and post-processing was solved by an automation of the workflow using the programming language “APDL”. The model building was not done by importing data from a CAD tool, but it took place directly within the FE-program. Proceeding that, a higher model quality and reduced amount of time could be achieved. A FE-model is generated within a few minutes. The simulation procedure was tested with a set of involute spur gears and helical gears. For validating the calculation of the tooth root stress, a screening test setup was deployed. The results of the simulations were compared to the ones of the analytical approach according to the German standard [DIN3990]. The comparison of the results showed minor differences and only small effects. For validating the stiffness calculation procedure, a parameter variation was conducted. It also showed a good accordance between the FEM and [DIN3990]. With the FE-simulation, the stiffness of beveloid gears was investigated systematically. It showed some differences compared to the stiffness of spur gears. The influence of the different transverse section of helical beveloid gears is negligible. Not, however, the influences of the change in tooth form along the width. For an easy way to calculate the stiffness of beveloid gears, an analytical approach based on [DIN3990] was defined. Therefore adapting factors were defined considering the geometrical differences to spur gears. An analytical approach was derived for calculating the load distribution and tooth root of beveloid gears in intersectional axes arrangement. The three dimensional beveloid gears were simplified to a set of thin cylindrical involute spur gear disks within this approach, Figure 1. Due to the characteristic discretization, the approach can be named as disk model. Input data for the model were the main gear set data, the loads and the load free gaping. The model includes an analogy with springs for calculating the load distribution over the tooth width. For the spring hardness, the tooth stiffness was adopted. The calculation of the tooth root stress was performed with the approach according to [DIN3990] and the determined load distribution factors. A use of computer programs was not required. The disk model calculates the highest tooth root stress of the gear set. It neither investigates the whole plane of action nor runs a locally stress calculation. The validation of the disk model contains three steps. First, cylindrical involute spur gears were investigated to check the transfer of the approach according to [DIN3990] into the model. Second, the tooth root stresses were measured on six different beveloid gear sets and the results were compared to theoretical and numerical calculations. Third, a large amount of theoretical beveloid gear sets was investigated with the FEM and the disk model. For the experimental second step of the validation, a set of beveloid gears was produced. The whole teeth were measured with a three dimensional measurement machine to consider the exact geometry within the FE-simulations. Strain gauges (DMS) were applied to the tooth root filet in the middle of the tooth width. In the test bench, the tooth root stress under load was recorded and the contact pattern photographed. Within the experimental investigations, the axes intersection angle, the load, the applied flank modifications, the position of the contact pattern and the helical angle were the varied parameters. The difference between the measured values and the theoretical results of the FEM and the disk model was calculated. The disk models showed a difference to the measurement up to 9 %. The deviations of the FE-results were slightly smaller. The third step in the validation consists of theoretical calculations. A full-factorial screening test setup was executed. The four regarded factors with influence on the shape of the transverse sections and the stresses were the axis intersection angle, the helical angle, the ratio and the radius of the tooth root filet. The parameters were varied and the differences between the disk model and the FE were calculated. It was found that the axis intersection angle has no significant impact on the quality of the results. The differences rose with increasing the helical angle. Up to a helical angle of 20°, the difference was about 11 %. The presented numerical and analytical calculation methods help the designer directly and methodically in the gear design process. The disk model calculates important parameters like the load distribution along the tooth width and the tooth root stress. The results can be used in a load carrying calculation analysis according to [DIN3990]. This procedure is suitable for beveloid gear sets, focusing on use with high moments. For applications with more requirements, such as low noise generation, the disk model delivers an additional criterion for possible design variants. The procedure of designing is more structured and methodical by using the disk model.