Zur Klassifikation achtdimensionaler kompakter Ebenen mit mindestens 16-dimensionaler Automorphismengruppe

Abstract

Jede achtdimensionale kompakte projektive Ebene, deren Automorphismengruppe mindestens 17-dimensional ist, ist eine Hughes-Ebene, eine Translationsebene oder eine duale Translationsebene. Die Ebenen dieser Art sind vollständig klassifiziert. Für Ebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe ist bisher nur bekannt, daß es sich (bis auf Dualität) um Translationsebenen handelt, wenn man zusätzlich voraussetzt, daß das Fixgebilde der Zusammenhangskomponente der Automorphismengruppe nicht aus einer Fahne besteht. Bis jetzt gibt es auch keine vollständige Klassifikation der achtdimensionalen kompakten Translationsebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Die vorliegende Arbeit enthält zunächst einen ausführlichen Beweis für die obige Aussage bezüglich Ebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Dann werden Translationsebenen untersucht, wobei sich herausstellt, daß große auflösbare Automorphismengruppen Ebenen charakterisieren, die nah am Lenz-Typ V sind. (Die Automorphismengruppe einer solchen Ebene fixiert genau eine Fahne.) Die Beschreibung einer bisher unbekannten Familie von Ebenen liefert anschließend den letzten Baustein zur Klassifikation aller achtdimensionalen kompakten Ebenen vom Lenz-Typ V mit (mindestens) 16-dimensionaler Automorphismengruppe. Eine Untersuchung der vorher schon bekannten Beispiele für Translationsebenen im Licht dieser Resultate zeigt, daß unter diesen Beispielen bis auf Isomorphie schon alle achtdimensionalen kompakten Ebenen vorkommen, die eine 16-dimensionale Automorphismengruppe haben, deren Zusammenhangskomponente nicht genau eine Fahne fixiert. Außerdem ergibt sich, daß zur Bestimmung aller nun noch unbekannten achtdimensionalen kompakten Translationsebenen mit 16-dimensionaler Automorphismengruppe (deren Zusammenhangskomponente genau eine Fahne fixiert) nur noch Ebenen mit auflösbarer Automorphismengruppe und reellem Kern betrachtet werden müssen.

Every eight-dimensional compact projective plane admitting an automorphism group of dimension at least 17 is a Hughes plane, a translation plane or the dual of a translation plane. All these planes are known explicitly. In the case of a 16-dimensional automorphism group, a similar result is known only under the additional hypothesis that the connected component of the automorphism group does not fix exactly one flag. These planes are translation planes (up to duality). Up to now, however, not all the eight-dimensional compact translation planes with an automorphism group of dimension 16 are known. The first part of this thesis contains a detailed proof for the above mentioned fact concerning planes with 16-dimensional automorphism groups. For the case of translation planes, it is then shown that large solvable automorphism groups characterize planes which are similar to planes of Lenz type V (where the automorphism group fixes exactly one flag). By introducing a new family of planes, the classification of eight-dimensional compact planes having Lenz type V and admitting an automorphism group of dimension (at least) 16 is completed. In the light of these results, an investigation of the known examples for translation planes yields that they comprise all the eight-dimensional compact planes with an automorphism group of dimension 16 whose connected component does not fix exactly one flag. Furthermore, in order to classify the still remaining eight-dimensional compact translation planes among those admitting a 16-dimensional automorphism group (with a connected component fixing exactly one flag) it suffices to consider planes with a solvable automorphism group and a real kernel.