Berechnung der zeitlichen Dynamik gekoppelter Exziton-Phonon-Systeme mit Hilfe unitärer Transformationen

Abstract

Das Phänomen der retardierten Lumineszenz in Alkalihalogeniden und Edelgaskristallen, aber auch generell die experimentelle Möglichkeit kurzzeitaufgelöster Beobachtung exzitonischer Evolutionen, lenkt die Aufmerksamkeit auf das Problem der zeitlichen Entwicklung gekoppelter Exziton-Phonon-Systeme. In früheren Arbeiten zu diesem Thema wurde meist eine semiklassische Näherung durchgeführt, das heißt, das Phononensystem wurde klassisch, das Exzitonsystem quantenmechanisch behandelt. Ein solches Verfahren führt jedoch in bestimmten Bereichen der Systemparameter zu Ergebnissen, die der exakten Lösung sogar qualitativ widersprechen. Einer exakten numerischen Lösung stehen jedoch, außer in den einfachsten Fällen, nahezu unüberwindliche Schwierigkeiten entgegen.

In der vorliegenden Dissertation wird daher ein neues Verfahren zur Berechnung der zeitlichen Dynamik gekoppelter Exziton-Phonon-Systeme vorgestellt, das auf unitären Transformationen beruht. Das System wird dabei einer handhabbaren, parametrisiertenären Transformation unterworfen, wobei die Parameter so gewählt werden, daß der transformierte Hamiltonoperator möglichst diagonal bezüglich einer gegeben Zustandsbasis wird. Die Methode wird am Beispiel des Dimer-Oszillator-Modells demonstriert, des einfachsten Modells, das den für gekoppelte Exziton-Phonon-Systeme charakteristischen Antagonismus zwischen Selbsteinfang und Delokalisierung des Exzitons aufweist. Die Ergebnisse für die Energieeigenwerte und die zeitliche Entwicklung werden mit den durch numerische Diagonalisierung des Hamiltonoperators gewonnenen Lösungen verglichen.

Insgesamt läßt sich sagen, daß sich durch unitäre Transformationen nicht nur die statischen Eigenschaften, sondern auch die zeitliche Entwicklung gekoppelter Exziton-Phonon-Systeme berechnen lassen. Der nächste Schritt wäre es, die Methode auf kompliziertere Systeme, wie z. B. ausgedehnte, translationsinvariante Systeme oder das 222-Modell zu verallgemeinern.

The phenomenon of retarded luminescence in alkali halides and rare gas crystals, as well as the experimental possibility of short-time resolved observation of excitonic evolutions in general, leads our attention to the problem of the temporal evolution of coupled exciton-phonon systems. In earlier work on this subject usually a semiclassical approximation was employed, i.e., the phonon system was treated classically, the exciton system quantum mechanically. However, in certain ranges of the system parameters this procedure leads to results that contradict the exact solution even qualitatively. An exact numerical solution, however, is almost impossible, except in the simplest cases.

In the present thesis therefore a new method for the calculation of the temporal dynamics of coupled exciton-phonon system is introduced, which is based on unitary transformations. The system is subjected to a tractable, parameterized unitary transformation, where the parameters of the transformation are chosen such that the transformed Hamiltonian becomes as diagonal as possible with respect to a given basis of the state space. The method is demonstrated for the exemplary case of the dimer-oscillator model, the simplest model showing the antagonism between self-trapping and delocalization of the exciton which is characteristic for coupled exciton-phonon systems. The results for the energy eigenvalues and the temporal evolution are compared to the solutions obtained by numerical diagonalization of the Hamiltonian.

In summary it can be said that unitary transformations can be used to calculate not only static properties, but also the temporal dynamics of coupled exciton-phonon systems. The next step would be to generalize the method to more complicated systems, such as spatially extended, translatory invariant systems or the 222 model.