Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-4651
Authors: Weibert, Kirsten
Title: Semiclassical quantization of integrable and chaotic billiard systems by harmonic inversion
Other Titles: Semiklassische Quantisierung integrabler und chaotischer Billardsysteme mittels harmonischer Inversion
Issue Date: 2001
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-8156
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/4668
http://dx.doi.org/10.18419/opus-4651
Abstract: Die Gutzwiller-Spurformel für klassisch chaotische Systeme und die Berry-Tabor-Formel für integrable Systeme geben eine semiklassische Näherung für die quantenmechanische Zustandsdichte an, die die Form einer Summe über alle periodischen Bahnen des Systems annimmt. Da diese Summe jedoch in der Regel nicht konvergiert, ist eine direkte Bestimmung der Eigenwerte aus den Spurformeln nicht möglich. Umgehen lässt sich dieses Problem mit Hilfe der harmonischen Inversion, einer der Signaltheorie entlehnten Methode, die im Gegensatz zu früheren Verfahren keine speziellen Eigenschaften des Systems voraussetzt. Die harmonische Inversion lässt sich einerseits nutzen, um aus den Spurformeln die quantenmechanischen Eigenwerte zu gewinnen. Das Problem der semiklassischen Quantisierung wird dabei zurückgeführt auf die Analyse von semiklassischen Signalen. Umgekehrt können aus quantenmechanischen Spektren die Beiträge der einzelnen periodischen Bahnen bestimmt werden. In dieser Arbeit werden zwei neuartige Erweiterungen der Methode der harmonischen Inversion eingeführt. Einerseits werden - sowohl bei der semiklassischen Quantisierung als auch bei der Analyse von Quantenspektren - Korrekturen höherer Ordnung des Wirkungsquantums zu den semiklassischen Spurformeln mit einbezogen. Andererseits wird eine Erweiterung auf kreuzkorrelierte Signale eingeführt, was die Effizienz der Methode deutlich erhöht. Die verschiedenen Techniken werden dann auf zwei Beispielsysteme mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften angewendet: auf das Kreisbillard als Beispiel für ein geschlossenes integrables System und auf das offene und geschlossene Drei-Scheiben-Billard als Beispiel für ein chaotisches System. Die extreme Leistungsfähigkeit und die Universalität des neuartigen Verfahrens werden dabei eindrucksvoll unter Beweis gestellt.
The Gutzwiller trace formula for classically chaotic systems and the Berry-Tabor formula for integrable systems provide a semiclassical approximation to the quantum mechanical density of states in terms of a sum over all classical periodic orbits of the system. However, the periodic orbit sums usually do not converge, which means that a direct calculation of eigenvalues from the trace formulae is impossible. This problem can be circumvented by harmonic inversion, a technique borrowed from signal processing which, in contrast to other methods, does not depend on special properties of the system. The harmonic inversion technique can, on the one hand, be used for semiclassical quantization. The problem of extracting eigenvalues from the trace formula is here reformulated as an analysis of a semiclassical signal. On the other hand, the method can be used, vice versa, for analysing quantum spectra in terms of periodic orbit contributions. In the present work, two novel extensions of the harmonic inversion technique are introduced: Firstly, corrections to the semiclassical trace formulae of higher orders of the Planck constant are included - in the semiclassical quantization procedure as well as in the analysis of quantum spectra. Secondly, the method is extended to cross-correlated signals, which allows a significant improvement of the efficiency of the method. The techniques developed are then applied to two systems with completely different properties: to the circle billiard as an example of an integrable and closed system, and to the open and closed three-disk system as an example of a chaotic system. The power and the universality of the novel method are impressively confirmed.
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