Methoden und Anwendungen der Riemannschen Differentialgeometrie in Yang-Mills-Theorien

Abstract

In der Arbeit wird der Zusammenhang zwischen Yang-Mills-Theorien und der modernen Form der Differentialgeometrie untersucht. Für geeignete Eichgruppen lassen sich die Yang-Mills-Eichfelder mit Hilfe von Riemann-Cartan-Konnexionen im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit behandeln. Neben generellen Aspekten wird die geometrische Konstruktion von Lösungen nicht-linearer Yang-Mills-Gleichungen diskutiert. Es wird gezeigt, dass trotz der Nichtlinearität der Gleichungen eine Art 'dimensionales Superpositionsprinzip' gilt, das zur Konstruktion von Lösungen auf höher-dimensionalen Mannigfaltigkeiten durch Kombination von Lösungen auf nieder-dimensionalen Mannigfaltigkeiten genutzt werden kann. Mit Hilfe eines Reskalierungsverfahrens werden die Lösungen auf eine geeignete Hintergrundmetrik transferiert. Es wird explizit gezeigt, dass hierbei nicht nur konforme sondern auch nicht-konforme Reskalierungen zu berücksichtigen sind. Die entwickelten Methoden werden zur Konstruktion und zur geometrischen Klassifikation von Lösungen, darunter sowohl die bekannten Instantonen und Meronen als auch weitere Lösungen, angewandt.

The relationship between Yang-Mills gauge theories and the modern form of differential geometry is investigated. For appropriate gauge groups, the gauge fields can be treated with help of Riemann-Cartan connections in the tangent bundle of the manifold. Besides general aspects, the geometrical construction of solutions of non-linear Yang-Mills equations is discussed. It is shown that despite the non-linearity of the equations a kind of 'dimensional superposition principle' holds which can be used to construct solutions on higher-dimensional manifolds by combining solutions on lower-dimensional manifolds. With help of rescaling, the solutions are transferred to an appropriate background metric. It is shown explicitly that not only conformal but also non-conformal rescaling has to be considered. The methods are applied to construct and classify geometrically a couple of solutions. Among them are the well-known instantons and merons as well as other solutions.