Contributions to the integral representation theory of Iwahori-Hecke algebras

Abstract

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der ganzzahligen Darstellungstheorie der zu endlichen Coxeter Gruppen assoziierten Iwahori-Hecke Algebren. Der einführende erste Teil fasst einige bekannte Ergebnisse und allgemeine Methoden zusammen, die später benötigt werden. Es wird näher auf Ordnungen über kommutativen Noetherschen regulären Ringen der Krull Dimension zwei eingegangen. Der zweite Teil behandelt die Berechnung von Grundringannihilatoren von Erweiterungsgruppen zwischen Gittern für Iwahori-Hecke Algebren. Es wird gezeigt, wie man das Higman Ideal einer Iwahori-Hecke Algebra anhand der Charaktertafel bestimmen kann. Ein wichtiges Ergebnis gibt eine kohomologische Interpretation der bekannten Schur Elemente. Als Anwendung werden Sätze über die Torsionsfreiheit und endliche Erzeugbarkeit über den ganzen Zahlen von gewissen Erweiterungsgruppen von Gittern für Iwahori-Hecke Algebren hergeleitet. Es wird anhand eines Beispiels demonstriert, wie man die Ringstruktur einer Iwahori-Hecke Algebra aus der Kenntnis einer Filtrierung der regulären Darstellung mit einfachen Gittern und gewissen zur Filtrierung assoziierten Annihilatoren herleiten kann. Der dritte und letzte Teil der Arbeit ist kombinatorischer Natur. Es wird gezeigt, daß nach einer geeigneten Lokalisation des Grundrings die Projektion der zu einer endlichen symmetrischen Gruppe assoziierten Iwahori-Hecke Algebra auf die Wedderburn Komponenten, die zu Hakenpartitionen korrespondieren, die Struktur einer Brauerbaum Ordnung hat. Dieses Ergebnis benutzt die explizite Berechnung von gewissen Erweiterungsgruppen in Form von sogenannten modularen Morphismen.

The main theme of this thesis are Iwahori-Hecke algebras associated to finite Coxeter groups, considered from the point of view of integral representation theory. The first part has an introductory character and collects well-known results and fairly general methods that are needed further on. Special emphasis is put on orders defined over commutative noetherian regular rings of Krull dimension two. The second part deals with the computation of ground ring annihilators of extension groups of lattices for Iwahori-Hecke algebras. It is shown how to compute the Higman ideal of an Iwahori-Hecke algebra from its character table. An important result gives a cohomological interpretation of the well-known Schur elements. As an application, the torsionfreeness and finite generacy over the integers of certain extension groups between lattices for Iwahori-Hecke algebras is proven. An example of how to derive the ring structure of an Iwahori-Hecke algebra from a given filtration of the regular representation with simple lattices and the knowledge of certain annihilators associated to the filtration is included. The third and final part has a strong combinatorial flavour. It is shown that, for an appropriate localization of the ground ring, the projection of the Iwahori-Hecke algebra associated to a finite symmetric group onto the Wedderburn components associated to the hook partitions has the structure of a Brauer tree order. This result is based on explicit calculations of extension groups interpreted as so-called modular morphisms.