Emissionsdichteschätzung bei Time-of-Flight Positronen Emissions-Tomographie

Abstract

In dieser Arbeit wird ein nichtparametrisches Schätzverfahren entwickelt, um die Dichtefunktion des Positronen-Emissionsprozesses bei Time-of-Flight Positronen-Emissions-Tomographie (ToFPET) über einem zweidimensionalen Querschnitt eines untersuchten Objektes zu schätzen. Als Klasse der Emissionsdichten wird H^{alpha,2}, ein Sobolev-Raum der Ordnung alpha in R^{+}_0, alpha>1 gewählt. Ein Dekonvolutionsverfahren mit gewichteten Beobachtungen wird eingesetzt, um eine Schätzfunktion für die gesuchte Emissionsdichte zu entwickeln. Der entwickelte Schätzer ist asymptotisch unverfälscht. Es werden obere Schranken für die Konvergenzraten des Schätzers bezüglich der Fehlermaße Mittlerer Quadratischer Fehler (MSE), Mittlerer Integrierter Quadratischer Fehler (MISE) und Supremum-Norm bestimmt. Es ergeben sich algebraische Konvergenzordnungen der Form O(n^{-{2(alpha-1)}/{2*alpha+1}}) für den Mittleren Quadratischen Fehler sowie den Mittleren Integrierten Quadratischen Fehler und O(n^{-{alpha-1}/{2*alpha+1}} * ln(n)^{{alpha-1}/{2*alpha +1}}) für die Supremum-Norm. Die erreichten Raten werden auf Optimalität untersucht. Es ergibt sich, daß unter dem MSE und dem MISE, der entwickelte Schätzer eine Minimax-Konvergenzrate erreicht, und daß unter der Supremum-Norm die Konvergenzrate des Schätzers bis auf einen logarithmischen Faktor übereinstimmt mit einer gleichmäßigen unteren Schranke über dem Funktionenraum H^{alpha,2}, die für jedes denkbare Rekonstruktionsverfahren gültig ist. Die Implementierung der Schätzfunktion wird anhand eines simulierten Datensatzes demonstriert. Eine mögliche Parallelisierung der Implementierung wird untersucht.

We develop a nonparametric estimator for the density function of the Positron emission process in Time-of-Flight Positron Emission-Tomography over a two-dimensional cross-section of the organ under study. We consider the problem of estimating a ToFPET emission density from the space H^{alpha,2}, a Sobolev space of real order alpha>1. The algorithm we use is a modified deconvolution kernel density estimator. We show that this estimator is asymptotically unbiased. We develop upper bounds for the convergence of the estimator to the true density under the distance measures mean squared error (MSE), mean integrated squared error (MISE) and supremum norm and for the function space H^{alpha,2}. We achieve algebraic rates of order O(n^{-{2(alpha-1)}/{2*alpha+1}}) for MSE and MISE and O(n^{-{alpha-1}/{2*alpha+1}} * ln(n)^{{alpha-1}/{2 alpha +1}}) for the supremum norm. The achieved rates are then examined for their optimality. We show that the modified deconvolution kernel density estimator achieves a minimax rate of convergence both for MSE and MISE, and that the upper bound inferred for the convergence of the estimator under the supremum norm complies up to a logarithmic factor with a uniform lower bound for the supremum norm, which holds for any reconstruction technique. The modified deconvolution kernel density estimator is then implemented using the programming language 'C', and it is tested on simulated data sets. The potential for building a parallel algorithm for the calculation of the estimator is studied and a parallel implementation performed on a Parix parallel computer.