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Authors: Boßle, Marco
Title: R-Funktionen für Finite Elemente Approximationen mit web-Splines
Other Titles: R-Functions for finite element approximations with web-splines
Issue Date: 2002
metadata.ubs.publikation.typ: Abschlussarbeit (Diplom)
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-12312
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/4698
http://dx.doi.org/10.18419/opus-4681
Abstract: Das web-Verfahren ist ein Finites Elemente Verfahren, das auf B-Splines beruht. Es verwendet web-Splines (weighted extended b-Splines) als Ansatzfunktionen für die Approximation der schwachen Lösung einer Differentialgleichung. Die herausragendsten Vorteile dieses Verfahrens sind die Unabhängigkeit von Triangulierungen, da stets auf einem regelmäßigen Gitter gerechnet wird, und die freie Wahl der Ordnung der Finiten Elemente ohne Mehraufwand. Für die Einhaltung der Randbedingungen werden die Ansatzfunktionen mit einer geeigneten Funktion multipliziert. Diese Funktionen müssen einige Eigenschaften besitzen, die von großer Wichtigkeit für das Verfahren sind. V.L. Rvachev fand bereits in den sechziger Jahren mehrere Familien von Funktionen (R-Funktionen), die über die geforderten Eigenschaften hinaus noch die Fähigkeit besitzen, boolsche Kombinationen von Gebieten auf Gewichtsfunktionen anzuwenden. Die Funktionen erlauben also die automatische, sukzessive Berechnung von Gewichtsfunktionen auf Gebieten, die aus mehreren einfachen Grundgebieten zusammengesetzt wurden. Die vorliegende Arbeit betrachtet diese Funktionsfamilien. Der eine Hauptteil der Arbeit ist die Betrachtung dieser Funktionen und der Beweis von grundlegenden Aussagen über Differenzialeigenschaften und deren Auswirkungen auf das web-Verfahren. Die Funktionen werden im Detail analysiert und miteinander verglichen. Als zugrundeliegende Einheiten, aus denen komplexere Gebiete definiert werden können, dienen in dieser Arbeit Kegelschnitte. Der zweite Hauptteil der Arbeit setzt sich mit der Darstellung und Verwaltung der Ränder von Gebieten auseinander, was speziell für die Integration auf diesem Gebiet zur Lösung von Differenzialgleichungen notwendig ist. Die Ränder werden als rationale quadratische Bezierkurven verwaltet, die bei der Kombination von Gebieten geeignet behandelt werden müssen. Im Laufe dieser Arbeit entstand das Programmpaket QBE, das die Möglichkeit bietet, Gebiete sukzessive aus Kegelschnitten aufzubauen und eine Gewichtsfunktion darauf berechnen zu lassen. Die Arbeit schließt mit einigen Beispielen und der Anleitung zur Handhabung des Programms.
The web-method is a finite element method that is based on B-splines. It uses web-splines (weighted extended b-Splines) as a basis for the approximation of the weak solution of a differential equation. The main advantages of this method are its independence of triangulations because only regular grids are used for calculations, and the free and effortless choice of the finite element degree. To keep the boundary conditions, the basis functions are multiplied with a proper function. These functions must have some properties that are of vital importance to the method. They have to be strictly positive in the interior and strictly negative outside of the domain. Additionally, they should be sufficiently smooth to obtain the desired approximation properties of the space of web-splines. In the sixties, V.L. Rvachev found several families of functions (R-functions), that possess - additionally to the properties mentioned above - the ability to apply boolean combinations of domains on weight functions. These functions thus permit an automatic, successive calculation of weight functions on domains, that are composed of several elementary domains. These function families are the subject of interest in this work. One main part examines these families and proves basic results of differentiability and their effects on the web-method. The functions are analyzed and compared to each other. The basic units that are combined to complex domains are conic sections. The second main part discusses the representation and management of the boundaries of domains, which is needed especially for the integration on this domain to calculate a solution of differential equations. The boundaries are represented by rational quadratic Bezier curves, that have to be handled properly at the combination of domains. The program package QBE was created in the course of this work, which offers the possibility to construct domains successively out of conic sections and to let weight functions be calculated automatically. The work ends with some examples and a tutorial on the program.
Appears in Collections:08 Fakultät Mathematik und Physik

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