Zur Analyse der Grenzdynamik von stochastischen Vielteilchensystemen am Beispiel des Pickard-Tory Sedimentationsmodells

Abstract

Die Sedimentation von Feststoffpartikeln in einem kontinuierlichen Medium ist ein höchst komplexer und zudem theoretisch interessanter Vorgang, der auch in der Praxis von großer Bedeutung ist. In der industriellen Anwendung tritt dieser z.B. im Erzbergbau auf in Form der Trennung von Wasser und dem feingemahlenen Erz, der sogenannten Suspension. Ziel dieser Arbeit ist die adäquate mathematische Modellierung des Sedimentationsvorganges durch stochastische Prozesse mit stochastischer Parametrisierung und die Analyse seiner Dynamik. Bei dem verwendeten Modell handelt es sich um ein Partikel-Tracking-Modell, das auf einem System von n über die Ensemble-Konfiguration gekoppelten Langevin-Gleichungen basiert. Das Modell hat seinen Ursprung in Arbeiten von Pickard und Tory und wird deshalb in der Literatur als Pickard-Tory Modell bezeichnet. Zu Beginn der Arbeit wird in Kapitel 1 das Pickard-Tory Modell ausführlich vorgestellt. Das stochastische Sedimentationsmodell kann dabei als das Ergebnis eines zweistufigen, gestaffelten Modellierungsvorganges interpretiert werden. An dessen Ende lässt sich das Pickard-Tory Modell mit n Teilchen in Form des 6n-dimensionalen Systemprozesses Y_t^n als Lösung einer zeithomogenen stochastischen Differenzialgleichung darstellen. In Kapitel 2 werden Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung sowie deren Eigenschaften diskutiert. Als Vielteilchenmodell wurde das Pickard-Tory Modell vor dem Hintergrund konzipiert, Systeme in einer Größenordnung von 10^6 Teilchen zu beschreiben. Die Hochdimensionalität des Modells und insbesondere die starke Abhängigkeit der Teilchen untereinander über das Konzentrationsfunktional führen zu Schwierigkeiten in der weiteren Analyse. In Kapitel 3 wird deshalb eine Methodik vorgestellt, die es erlaubt anstatt des 6n-dimensionalen Pickard-Tory Modells alternativ eine 6-dimensionale stochastische Differenzialgleichung zu untersuchen, die im Weiteren als Grenzdynamik bezeichnet wird. Die Grenzdynamik ist durch eine 6-dimensionale stochastische Differenzialgleichung erklärt, deren Koeffizienten die gleiche Struktur wie die Koeffizienten eines Teilchens im Pickard-Tory Modell besitzen. Der entscheidende Unterschied besteht in der Modellierung des Konzentrationsfunktionals, bei dem an die Stelle einer gewichteten Summe über die Ortskomponenten der Teilchen die Integration bzgl. der Verteilung P_t der Grenzdynamik tritt. Hierdurch entsteht ein Typ stochastischer Differenzialgleichung, der durch die Standardtheorie nicht mehr abgedeckt ist. Ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit ist die Existenz einer starken und eindeutigen Lösung für die Grenzdynamik in Kapitel 3.3. Der Beweis gliedert sich dabei in mehrere Teile und basiert auf einem Fixpunktsatz. Ferner wird in diesem Kapitel der Zusammenhang mit dem Pickard-Tory Modell hergestellt und mit Hilfe des Approximationssatzes gelingt der Nachweis, dass die Grenzdynamik stellvertretend für das Pickard-Tory Modell betrachtet werden kann. In Kapitel 3.5 wird abschließend die Frage diskutiert, ob die Verteilung der Grenzdynamik eine Dichte besitzt. Mit der Theorie über den Malliavin Calculus kann unter schwachen Voraussetzungen die Existenz einer glatten Dichtefunktion garantiert werden. Im letzten Kapitel dieser Arbeit werden maßwertige stochastische Prozesse als Instrument zur Beschreibung von Sedimentationsvorgängen eingeführt. Anstatt das Modell weiter im Phasenraum zu betrachten, wird der Systemprozess Y_t^n in die Gestalt einer maßwertigen Zufallsvariable Z^n_t bzw. eines zufälligen Maßes Z^n transformiert. Die Frage nach der Asymptotik der stochastischen Prozesse im Pickard-Tory Modell kann somit durch die Betrachtung der Konvergenz der zugehörigen maßwertigen Zufallsvariablen beantwortet werden. So wird etwa in Kapitel 4.2 gezeigt, dass Z^n in Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante maßwertige Zufallsvariable konvergiert und daraus abgeleitet, dass das Pickard-Tory Modell dem Prinzip des propagation of chaos gehorcht. In Kapitel 4.3 erhält man bei der Untersuchung des maßwertigen Prozesses Z_t^n ein starkes Gesetz der großen Zahlen auch für die stochastisch abhängigen Zufallsvariablen Y_t^{i,n}. Unter Verwendung dieses starken Gesetzes der großen Zahlen im Zusammenspiel mit Martingale-Theorie und den Techniken des Ito-Kalküls gelingt im letzten Kapitel der Nachweis, dass die Familie P_t als Grenzwert des maßwertigen Prozesses Z_t^n Lösung einer Gleichung vom Typ McKean-Vlasov ist.

The settling of a large number of small solid particles in a viscous fluid is a macroscopic physical phenomenon that is both scientifically interesting and physically relevant. In industrial practice it occurs in a variety of systems such as colloids, suspensions and polymers. The intention of this thesis is to give an adequate mathematical model of sedimentation using multidimensional diffusion processes in time-dependent environments which are themselves stochastic. We develop tools for the analysis of its dynamics. We use a particle-tracking model which is based on n Langevin equations coupled by the ensemble configuration. The basic structure was developed by Pickard and Tory. In chapter 1 the modelling process is described in detail. We consider n identical, spherical, macroscopic particles with radius a that are immersed in a viscous fluid described by RR^3. The first step is to deduce a stochastic process for incremental particle evolution, individually for all particles. As a result the dynamics of the solids are characterized as Ornstein-Uhlenbeck processes dependig on the constant parameters mu, beta and sigma. In a second step the fine structure is superposed. All the remaining effects, such as hydrodynamic interactions not yet considered in the coarse structure, are built into the parameters. This is done by connecting the parameters to the local solid concentration via a concentration functional c. At the end the Pickard-Tory model with n particles may be represented by the 6n-dimensional process Y_t^n that obeys a time-homogeneous stochastic differential equation. The main purpose of chapter 2 is to ensure existence and uniqueness of the corresponding stochastic differential equation and to analyse properties of the Pickard-Tory model. As a many-bodied model, the Pickard-Tory model is designed to handle systems with 10^6 particles. This high dimensionality and particularly the strong dependence of the particles among themselves through the concentration functional lead to several problems in the subsequent analysis. In chapter 3 we present a methodology which allows us to analyse a 6-dimensional stochastic differential equation instead of the 6n-dimensional Pickard-Tory model. This is a significant reduction of dimension. The 6-dimensional stochastic differential equation, which from now on we refer to as limit dynamics, is given by a special type of stochastic differential equation. The coefficients have the same structure as the coefficients in the Pickard-Tory model. The main difference occurs in the modeling of the concentration functional. Instead of a weighted sum over the position components of all solids we use an integration with respect to the law P_t of the limit dynamics. This dependence generates a new type of stochastic differential equations. Existence and strong uniqueness of the solution of the limit dynamic is one of the main results in this thesis. In chapter 3.3 we give a proof consisting of several steps based on a fixpoint theorem. Finally, a connection with the Pickard-Tory model is established in chapter 3.4. The last section in chapter 3 deals with the question of whether the law of the limit dynamics is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure. We can guarantee a smooth density function under some smoothness conditions for the coefficients and a positive definite dispersion matrix. In proving these results we make use of the theory of Malliavin. In chapter 4 we introduce measure-valued stochastic processes as a new tool to analyse and describe sedimentation. Instead of studying the model in phase space, we define a transformation of the Pickard-Tory process Y_t^n into measure-valued processes Z^n and Z^n_t. Questions related to the asymptotic behaviour of the stochastic process in the Pickard-Tory model can therefore be answered by analysing the convergence behaviour of the associated measure-valued random variables. Technical lemmas and results for measure-valued random variable Z^n are given in chapter 4.1 and 4.2. From this we deduce e.g. that the Pickard-Tory model obeys the principle of propagation of chaos. In chapter 4.3 this line of argument is transferred to the measure-valued process Z_t^n. We obtain convergence in probability from Z_t^n to the law of the limit dynamics P_t uniformly in t. Furthermore, we prove a strong law of large numbers for stochastically dependent random variables Y_t^{i,n}, uniformly in t. In the last section of this thesis we make use of this strong law of large numbers and the interplay between martingale theory and Ito calculus. We show that P_t, as a limit of Z_t^n, is a solution of an equation of McKean-Vlasov type. Moreover, given a smooth density for the law of the limit dynamics, e.g. based on the results of chapter3.5, it is demonstrated, that this density is the solution of a non-linear Fokker-Planck equation for the limit dynamics.