Robustheitseigenschaften von Dekonvolutionsdichteschätzern bezüglich Missspezifikation der Fehlerdichte

Abstract

Das grundsätzliche Problem der Dekonvolutionsdichteschätzung besteht darin, die Dichte einer Zufallsvariablen aufgrund fehlerbehafteter empirischer Daten zu schätzen. In dieser Dissertation wird erstmals die Situation betrachtet, dass die Fehlerdichte weder exakt bekannt ist noch durch zusätzliche direkte Beobachtungen geschätzt werden kann. Zunächst wird das asymptotische Verhalten des Dekonvolutionskernschätzers bei einer Missspezifikation der Fehlerdichte untersucht. Es wird gezeigt, dass der mittlere integrierte quadratische Fehler gegen einen eingeführten Abstandsbegriff zwischen tatsächlicher und fälschlicherweise verwendeter Fehlerdichte konvergiert bzw. divergiert. Daraus werden Regeln abgeleitet, wie in der Praxis die Fehlerdichte zu wählen ist, um die asymptotische Verzerrung möglichst gering zu halten. Weiter wird der Begriff der robusten Konsistenz definiert, den ein Schätzer erfüllt, wenn er trotz nicht exakt bekannter Fehlerdichte konsistent schätzt. Es wird gezeigt, dass ein robust konsistenter Schätzer im Falle vieler in der Literatur häufig verwendeter Dichteklassen nicht existiert. Es folgt theoretische Forschung, bei der hinreichende und notwendige Kriterien zur Existenz eines solchen Schätzers ermittelt werden. Der Begriff kann noch verschärft werden zur gleichmäßig robusten Konsistenz, für die sogar ein äquivalentes Kriterium gefunden wird. Diese Ergebnisse werden bei speziell definierten Dichteklassen angewandt und ein Schätzer konstruiert, der trotz Unkenntnis der Fehlerdichte gleichmäßig konsistent schätzt. Im Vergleich zu den herkömmlich verwendeten Dichteklassen für die zu schätzende Dichte wird eine zusätzliche Bedingung postuliert, die dennoch eine reichhaltige Menge als in Frage kommende zu schätzende Dichten zulässt. Die Konvergenzrate des mittleren integrierten quadratischen Fehlers jenes explizit berechenbaren Schätzers wird ermittelt, und es wird bewiesen, dass diese Rate für das betrachtete Schätzproblem optimal ist.

The basic problem of deconvolution density estimation is the reconstruction of a random variable's density based on contaminated empirical data. In this dissertation, the situation of an error density which is neither exactly known nor can be estimated based on additional direct observations is studied for the first time. So the asymptotic behaviour of the deconvolution kernel estimator is investigated in the case of a misspecification of the error density. It is shown that the mean integrated square error converges or diverges to a certain kind of an introduced distance between the real and the used error density. Hence, rules for selecting the error density in order to make the asymptotic bias minor are derived. Furthermore, the expression of robust consistency is defined. An estimator is called robustly consistent if it estimates consistently in spite of an unknown error density. The non existence of a robustly consistent estimator is proved for lots of widely used density classes. Necessary and sufficient conditions for the existence of a robustly consistent estimators are found in a theoretical section of this work. A stronger version of robust consistency can be defined, which is called uniformly robust consistency. Even an equivalent condition for uniformly robust consistency is given in this work. These results are used in situations of special density classes. An estimator is constructed which is uniformly consistent in spite of ignorance of the error density. If one compares it to widely used classes of the density which shall be estimated, an additional condition is postulated. However, this condition still allows a large set of densities to be the density that shall be estimated. The rate of convergence of the mean integrated square error of that estimator which can explicitely be computed is investigated. It is shown that this rate is optimal for the considered estimation problem.