Straffe zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten kompakter euklidischer Raumformen

Abstract

Kuiper definierte zu Beginn der 60er Jahre straffe Immersionen kompakter Flächen in den dreidimensionalen euklidischen Raum als solche minimaler totaler Absolutkrümmung. Straffheit einer immersierten Fläche ist eine Verallgemeinerung von Konvexität und heißt in gewissem Sinne, dass sie unter Berücksichtigung ihrer topologischen Eigenschaften so 'konvex wie möglich' immersiert ist. Mit der Einführung der Two-Piece-Property durch Banchoff, welche für Flächen äquivalent zur Minimalität der totalen Absolutkrümmung ist, war es möglich neben straffen glatten auch straffe polyedrische Immersionen kompakter Flächen zu studieren. Für alle Flächen - glatt oder polyedrisch - ist bekannt, ob sie sich straff in den dreidimensionalen euklidischen Raum immersieren lassen oder nicht. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit (Kapitel 1, 2 und 3) werden diese Resultate auf den Fall übertragen, in welchem die Flächen - glatt oder polyedrisch - in dreidimensionale kompakte euklidische Raumformen (ERF) immersiert werden, d.h. auf Immersionen - glatt oder polyedrisch - zweidimensionaler kompakter Mannigfaltigkeiten in kompakte Quotienten des dreidimensionalen reellen Vektorraums nach fixpunktfreien diskreten Untergruppen der dreidimensionalen euklidischen Gruppe. Die Klassifikation der ERF reduziert sich damit auf die Suche nach diesen Gruppen. Die Bieberbachschen Sätze besagen, dass es in jeder Dimension nur endlich viele solcher Gruppen gibt und damit auch nur endlich viele ERF. Damit klassifizierten Hantzsche und Wendt die ERF und bewiesen, dass es in Dimension drei nur sechs orientierbare und vier nichtorientierbare ERF gibt. In diesem klassischen Resultat sind Diagramme der Gruppenwirkungen zu finden, welche in Kapitel 1 zu Diagrammen der Fundamentalbereiche der Gruppen erweitert werden, die die verschiedenen ERF repräsentieren. Anschließend werden straffe Immersionen - glatt oder polyedrisch - kompakter Flächen ohne Rand in ERF als solche minimaler totaler Absolutkrümmung, analog zum klassischen Fall, definiert. Dies gilt genau dann, wenn die totale Absolutkrümmung der Fläche mit dem Betrag der Euler-Charakteristik dieser übereinstimmt. Die Frage nach der Existenz- bzw. Nichtexistenz straffer Immersionen - glatt oder polyedrisch - kompakter Flächen in ERF ist Inhalt von Kapitel 3. Diese wird für alle kompakten Flächen bis auf die projektive Ebene mit einem und mit zwei Henkeln beantwortet. Nichtexistenz gilt für die projektive Ebene in jede ERF und für die Kleinsche Flasche in zwei der orientierbaren ERF, während sich alle anderen Flächen in jede ERF straff immersieren lassen. Für die projektive Ebene mit zwei Henkeln wird zumindest eine straffe polyedrische Immersion in jede ERF angegeben. Anschließend (Kapitel 4) wird die Straffheit kompakter Flächen ohne Rand in ERF,in Analogie zum klassischen Fall, differentialtopologisch interpretiert in dem Sinne, dass eine glatte Immersion einer kompakten Fläche nichtpositiver Euler-Charakteristik in eine ERF genau dann straff ist, wenn fast jede lokale Höhenfunktion auf dieser Fläche weder ein Maximum noch ein Minimum besitzt. Teil zwei der Arbeit (Kapitel 5) definiert und studiert straffe glatte Immersionen kompakter Flächen mit Rand in ERF. Analog zur Fall kompakter Flächen ohne Rand werden diese Immersionen straff genannt, wenn sie minimale totale Absolutkrümmung besitzen, was wiederum äquivalent ist zur Gleichheit der totalen Absolutkrümmung und dem Betrag der Euler-Charakteristik. Ausgehend von obigen Resultaten werden auch hier Existenz- und Nichtexistenz straffer Immersionen für fast alle Flächen mit nichtleerem Rand bewiesen. Im letzten Teil der Arbeit (Kapitel 6) wird eine Konstruktion straffer glatter und substantieller Immersionen kompakter Flächen ohne Rand in den flachen n-Torus beliebiger Dimension n gegeben, welcher in jeder Dimension n eine kompakte euklidische Raumform ist. Straffe glatte Immersionen kompakter Flächen existieren in jeder Dimension n, wenn die Flächen 'genügend viele' Henkel besitzen im Gegensatz zur klassischen Theorie.

In the early 1960's Nicolaas Kuiper defined and studied tight immersions of surfaces in Euclidean three-space, which means that the surface has minimal total absolute curvature. Tightness is a generalization of the notion of convexity. In some sense, it means that a surface is embedded or immersed as convexly as possible' with respect to its topological properties. With the introduction of the two-piece-property (TPP) which is equivalent to the minimality of the total absolute curvature for surfaces it was possible to examine tightness not only for smooth surfaces but also for polyhedral ones as it was done by Banchoff. For all surfaces - smooth or polyhedral - it is known whether they can be immersed or embedded tightly in three-space or not. In the first part of the present work (Chapter 1, 2 and 3) we transfer these results to the case where the surfaces - smooth or polyhedral - are immersed in three-dimensional compact Euclidean space forms (CES). By definition, a CES is the compact quotient of the n-dimensional real vectorspace and a freely acting discrete subgroup of the Euclidean group. Now, the problem of classifying the CES is reduced to the search of these groups. Bieberbach's theorems state that there are only finitely many in each dimension and therefore also a finite number of CES. With the help of this Hantzsche and Wendt classified the CES and proved that there are only six orientable and four non-orientable ones in dimension three. In this classical result one can find diagrams of the group actions. We extend these in Chapter 1 to diagrams of the fundamental domains of the ten different groups which represent the CES and define in Chapter 2 tight immersions of compact surfaces in CES as immersions of minimal total absolute curvature. A surface is threfore tight if and only if the total absolute curvature is equal to the absolute value of the Euler-characteristic. Following this we prove in Chapter 3 existence- and non-existence results of such immersions for all but the projective plane with one or two handles. Nonexistence is proved for the projective plane in any CES and for the Klein bottle in two of the orientable CES, while all other surfaces admit a tight immersion in any CES. At least a polyhedral example of a tight immersion of the projective plane with two handles in any CES is given. In Chapter 4 we give an interpretation of tight surfaces in CES in terms of local height functions in analogy to the classical case in the sense that a smooth immersion is tight if and only if almost no local height function has a maximum or a minimum on the surface. In the second part of the work (Chapter 5) we define and study tight smooth immersions of surfaces with boundary in CES. In analogy to the case of surfaces without boundary we call such an immersion tight if it has minimal total absolute curvature. This is equivalent to the equality of the total absolute curvature and the Euler-characteristic of the immersed surface. With the help of the results above we prove existence and non-existence results of tight immersions of almost all surfaces with non-empty boundary. In the last part of the work (Chapter 6) we give a construction of smooth tight and substantial immersions of compact surfaces without boundary in flat n-tori of arbitrary dimension n. These are compact Euclidean space forms for each n. For every n there exist tight smooth immersions of compact surfaces if their genus is 'high enough' in contrary to the classical theory.