Some contributions to the representation theory of orders over local factorial Krull domains

Abstract

In the first part of this thesis it is shown that every Hasse skewfield can be lifted to a skewfield over the polynomial ring. To prove this the Hasse skewfields are interpreted as cyclic algebras and a criteria for a ring to contain no zero divisors is shown. Every Hasse skewfield contains a uniquely determined maximal order which is interpreted as a cyclic order. The maximal order can be lifted to an order which is contained in the lifts of the skewfields. The lifts are parametrised by certain polynomials. By considering the prime divisors of these polynomials it is decided when a lift of the maximal order is again a maximal order. In particular the localisations of the lifts at the prime ideals of height one of the polynomial ring are discussed. In the maximal case the radical and the quotient after the radical of these localisations is determined. The the specialisations of lifts are considered. These specialisations are either orders in central simple algebras or orders in rings which are isomorphic to truncated twisted polynomial rings. These truncated twisted polynomial rings are local rings; the cohomology ring of the simple module is determined. In the last part maximal orders over arbitrary local factorial Krull domains are studied. Some well-known results from commutative algebra and the theory of orders over Dedekind domains are generalised. Results on maximal divisorial ideals and minimal prime ideals are shown.

Im ersten Teil der vorliegenden Dissertation wird - durch die Interpretation der Hasse'schen Schiefkörper als zyklische Algebren und durch den Beweis eines Kriteriums für Nullteilerfreiheit - gezeigt, daß sich jeder Hasse'sche Schiefkörper zu einem Schiefkörper über dem Polynomring heben läßt. Die Hasse'schen Schiefkörper enthalten eine eindeutig bestimmte Maximalordnung, die als eine zyklische Ordnung interpretiert wird. Die Maximalordnung läßt sich zu einer Ordnung in den Lifts heben. Die Lifts werden durch bestimmte Polynome parametrisiert, ausgehend von der Teilerstruktur dieser Polynome wird analysiert, wann der Lift der Maximalordnung wieder eine Maximalordnung ist. Insbesondere werden die Lokalisierungen der Lifts an den Primidealen der Höhe eins des Polynomrings untersucht. Von diesen Lokalisierungen werden im maximalen Fall das Radikal und der Quotient nach dem Radikal bestimmt. Danach werden Spezialisierungen der Lifts der Hasse'schen Schiefkörper untersucht, die Spezialisierungen sind entweder Ordnungen in zentral-einfachen Algebren oder Ordnungen in Ringen, die isomorph zu abgeschnittenen getwisteten Polynomringen sind. Diese abgeschnittenen getwisteten Polynomringe sind lokale Ringe; der Kohomologiering des einfachen Moduls wird berechnet. Im letzten Teil werden Maximalordnungen über beliebigen lokal faktoriellen Krull-Bereichen studiert. Es werden einige bekannte Sätze aus der kommutativen Algebra bzw. aus der Theorie von Ordnungen über Dedekind-bereichen verallgemeinert. Es werden Aussagen über die maximalen divisoriellen Ideale und minimale Primideale gezeigt.