Spin gap in doped ladder systems

Abstract

A proper theoretical description of doped antiferromagnets is until now an unresolved issue. In this work we study chain and ladder systems, and in particularly we focus on the physically most interesting two leg ladder.

Our starting point is the Spin Fermion model in which an antiferromagnetic background of localized spins interacts with mobile holes via a rotation invariant Kondo-like term. The interesting region of the phase diagram is that close to the Mott-insulator transition where the doping delta is zero. At zero doping in fact the system is an insulator and the spins organize themselves in a spin liquid, a rotational invariant state characterized by a finite correlation length and an energy gap (a spin gap) above the ground state. Such a state is also the ground state of a field theory, the non linear sigma model (NLsigmaM) which is recognized as the low energy effective theory for antiferromagnetic spin ladder.

The first question we answer is how such a spin state evolves as one moves off from the Mott phase by increasing the doping. Integrating out the fermions in our model we obtain an effective theory for the spins which we are able to evaluate in the continuum limit. The effective theory is again a NLsigmaM with coupling constants which depend on the concentration of dopant holes. In contrast to existing mean field calculation our theory predicts a lowering of the spin gap with doping and a consequent increase in the correlation length. Indeed a lowering of the spin gap due to doping is also observed in numerical simulation and on NMR experiments on $Sr14-xCaxCu24O41 with which we obtain very good agreement.

Secondly we concentrated on the behavior of the fermions. The general paradigm of interacting fermions in one dimension is that of the Luttinger Liquid characterized by bosonic excitations and spin charge separation. By generalizing our approach we are able to access the one particle fermion propagator as a quantity averaged over the NLsigmaM which controls the spin background. We see that in the limit of zero doping the quasiparticle weight Z is non-zero in a neighborhood of the Fermi energy. This in turn implies that the Luttinger liquid parameter Krho goes to one as the doping delta goes to zero as was first argued by Schulz. Our stronger result allows us to assert that in the very low doping regime the fermions constitute a Fermi liquid.

Ende der sechziger Jahre dachten die meisten Festkörpertheoretiker, daß mit den Erfolgen der Landau Fermiflüssigkeitstheorie (1956) [landau57a,la ndau57b,landau59] und der BCS Theorie der Supraleitung (1957) [cooper56,BCS57] ihre Forschung auf einem soliden Fundament gebaut sei. Erst zwanzig Jahre später wurde mit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung (1986) [bed-mull], den Schwerfermion-Systemen (um 1980) [hewson93] und dem Quantenhallefekt (Anfang 80er Jahre) [klitzing80,laughlin83] offensichtlich, dass grundlegend neue Theorien benötigt würden. Schnell wurde klar, dass die neuen Systeme eine gemeinsame Eigenschaft besitzen, nämlich dass durch verminderte Dimensionalität oder durch starke elektronische Wechselwirkung die Bewegungsfreiheit der Elektronen stark beeinträchtigt wird. Infolge einer reduzierten Beweglichkeit ergeben sich dann komplizierte Korrelationen in der Statik und Dynamik der Elektronen. Daher auch der Name 'Stark korrelierte Elektronensysteme' der synomym für all die oben genannten neuen Syteme steht.

Typisch für die wechselseitige Beziehung von Dimensionalität und elektronischen Korrelationen ist das Versagen der Landau Fermiflüssigkeitstheorie (FFT) bei abnehmender Dimensionalität. In der Fermiflüssigkeitstheorie wird postuliert, dass das niederenergetische Spektrum des wechselwirkenden Systems eins zu eins mit dem eines freien Fermigases korrespondiert. Da sich die Quasiteilchen, die im wechselwirkenden System die niedrigsten kollektiven Anregungen beschreiben, genau wie freie Elektronen verhalten, ist die ganze FFT im wesentlichen eine freie Theorie. Ursprünglich wurde die FFT zur Beschreibung von 3He entwickelt. Es folgten Erweiterungen, um Elektronen in Metallen und Atomkernen zu beschreiben. Solche Rechnungen wurden mit großem Erfolg bei vielen Metallen mit dreidimensionaler Struktur angewandt, wobei natürlich eine tiefe Temperatur Voraussetztung ist. Bei den eher zweidimensionalen Kuprat-Supraleitern wurden die anormalen Eigenschaften des (nicht supraleitenden) Normalzustands (siehe [dagotto94]) von vielen Forschern in Zusammenhang mit Nicht-Fermiflüßigkeits-Verhalten gebracht, was zu einer Suche nach alternativen Theorien Anlaß gab. Andererseits ist der FF-Zustand auch in zwei Dimensionen noch robust und kann nur unter besonderen Bedingungen, so z.B. einer langreichweitigen Wechselwirkung, Singularitäten im freien Propagator oder sehr starker Kopplung zerstört werden [shankar94]. Unter solchen Umständen spricht man dann von einer Nicht-Fermiflüssigkeit (NFF) oder einer ''marginalen''-Fermiflüssigkeit (MFF).

Im Gegensatz zu den vielen Fragezeichen, die es heute noch bei zweidimensionalen Fermionen gibt, sind die eindimensionalen Systeme sehr gut verstanden. Insbesondere ist schon lange bekannt, dass das Fermiflüssigkeitsbild in einer Dimension zusammenbricht. Der Grund sind die Quantenfluktuationen, die in einer Dimension so stark sind, dass jede noch so kleine Wechselwirkung das Fermigas in einen vollständig anderen Zustand, nämlich in eine sogenannte Luttingerflüssigkeit (LF) treibt (siehe die Originalarbeit [luttinger63] und den Übersichtsartikel [voit94]).

Dieser neuartige Zustand ist durch das gänzliche Fehlen von fermionischen Quasiteilchen (Tomonaga hatte als erster schon 1950 die bosonischen Anregungen in den eindimensionalen Systemen beschrieben [tomonaga50]) charakterisiert. Anders ausgedrückt verschwindet die Renormierung der Quasiteilchen Z, vollständig und zugleich wird eine Trennung von Spin-und Ladungsfreiheitsgraden beobachtet. In der Luttingerflüssigkeit findet man dann ausschließlich bosonische Anregungen, entweder mit Ladungs- (Ladungsdichtewelle) oder Spin-Charakter (Spindichtewelle).

Aufgrund dieser Eigenschaften sind die eindimensionalen Systeme ideal geeignet, neue Theorien (wie z.B. verschiedene Formen einer NFF) für stark korrelierte Systeme zu erproben. Tatsächlich gibt es für die eindimensionalen Systeme viele leistungsstarke Rechenmethoden, die in mehr Dimensionen nicht zur Verfügung stehen. An wichtigster Stelle sei hier der Bethe Ansatz erwähnt, der für spezielle Modelle und besonderen Kopplungsstärken exakte Ergebnisse liefert. Desweiteren waren es die Bosonisierungsmethoden, die dem Konzept der Luttingerflüssigkeit sicheren Boden verschafft haben. In einer Dimension sind auch numerische Simulationen sehr erfolgreich (verglichen mit Simulationen in mehreren Dimensionen) und große Systeme können bei tiefer Temperatur untersucht werden.