BETI-Gebietszerlegungsmethoden mit schnellen Randelementverfahren und Anwendungen

Abstract

In der numerischen Simulation wird die Behandlung gekoppelter Problemstellungen auch im Hinblick auf eine schnelle Produktentwicklung zunehmend wichtiger. Gebietszerlegungsmethoden bieten eine einfache Behandlung und eine effiziente numerische Simulation für Materialien mit unterschiedlichen Materialparametern und zur Kopplung verschiedener Modellgleichungen. Außerdem ermöglichen sie die Kopplung verschiedener numerischer Verfahren und eine einfache Parallelisierung der Simulation zur Verkürzung der Rechenzeiten. Neben der Gebietszerlegungsmethode selbst sind auch die verwendeten Verfahren zur Lösung der lokalen Teilprobleme wichtig für ein schnelles Gesamtverfahren. Bei der Randelementmethode wird die Variationsformulierung der partiellen Differentialgleichung durch partielle Integration in eine Randintegralgleichung transformiert. Vorteile der Randelementmethode gegenüber der häufig eingesetzten Finiten Element Methode liegen in der einfacheren Vernetzung des Randes, in der Behandlung von Außenraumproblemen und der expliziten Berechnungen der kompletten Cauchy-Daten auf dem Rand. Ein Nachteil der Standardrandelementmethode ist der mindestens quadratische Speicher- und Rechenaufwand. Dies läßt sich durch den Einsatz von schnellen Randelementmethoden, wie beispielsweise der Multipolmethode, auf fast lineare Komplexität reduzieren. Die Schwerpunkte dieser Arbeit liegen in der Entwicklung von effizienten Gebietszerlegungsmethoden und der Bereitstellung schneller Methoden zur Lösung der lokalen Teilprobleme. Dazu wird zunächst zusätzlich zu der bereits vorhandenden schnellen Multipolrandelementmethode für die Laplace-Gleichung eine Multipolmethode für die linearen Elastostatik entwickelt. Diese baut durch die Verwendung partieller Integrationsformeln im wesentlichen auf den vorhandenen Routinen aus der Laplace-Gleichung auf. Dabei wird auch für die lineare Elastostatik der Einsatz der Multipolmethode durch eine Konsistenzanalyse theoretisch abgesichert. Desweiteren werden mit dem algebraischen Mehrgitterverfahren und den Randintegraloperatoren entgegengesetzter Ordnung effiziente Vorkonditionierungstechniken sowohl für die Laplace-Gleichung als auch die lineare Elastostatik analysiert und eingesetzt. Für den hypersingulären Operator und den Steklov-Poincare-Operator wird speziell für die lineare Elastostatik eine Stabilisierung für die effiziente Invertierung der Operatoren vorgestellt. Aus Effizienzgründen wird das Einfachschichtpotential der Laplace-Gleichung als Vorkoditionierer verwendet und dessen Einsatz theoretisch abgesichert. Damit stehen schnelle Lösungsverfahren für den Einsatz in den Gebietszerlegungsmethoden zur Verfügung. Als Gebietszerlegungsmethode wird vor allem die BETI-Methode (Boundary Element Tearing and Interconnecting) eingesetzt. Dabei werden zur effizienten Lösung verschiedene Formulierungen in linearen Gleichungssystemen betrachtet. Diese linearen Gleichungssysteme werden mit geeigneten iterativen Verfahren mittels des Bramble-Pasciak-CG-Verfahrens gelöst. Die numerischen Experimente zeigen, daß bei Verwendung der Mehrgittervorkonditionierung für die lokalen Einfachschichtpotentiale die BETI-Methode meist schneller ist als die zum Vergleich verwendete primale Dirichlet-Gebietszerlegungsmethode. Insbesondere bei gemischten Randwertproblemen, wie sie in der Elastostatik meistens auftreten, ist die BETI-Methode schneller. Die Konditionszahl der BETI-Methode ist unabhängig von springenden Materialparametern und hat hier ihre Stärken gegenüber der primalen Gebietszerlegungsmethode. Insbesondere in der linearen Elastostatik kann die Behandlung von Teilgebieten ohne ausreichende Dirichlet-Randbedingung für die BETI-Methoden aufgrund der möglicherweise variierenden Zahl an auftretenden Starrkörperbewegungen kompliziert werden. Die in dieser Arbeit eingeführte Allfloating-Formulierung der BETI-Methode vereinheitlicht die Behandlung der einzelnen Teilgebiete der Gebietszerlegung. Dadurch vereinfacht sich die Realisierung der BETI-Methode insbesondere für die lineare Elastostatik und erscheint auch einfacher realisierbar als die Ideen der FETI-DP-Methoden. Außerdem ermöglicht die Allfloating-Formulierung den Einsatz optimaler Vorkonditionierer für die lokalen Steklov-Poincare-Operatoren. Dies hat ein verbessertes asymptotisches Verhalten der Allfloating-Formulierung zur Folge. In den numerischen Beispielen ist das bessere asymptotische Laufzeitverhalten der Allfloating-Formulierung gegenüber der Standard-BETI-Formulierung und damit auch gegenüber der zum Vergleich verwendeten primalen Dirichlet-Gebietszerlegungsmethode zu beobachten.

In numerical simulations the treatment of coupled problems gets increasingly important especially in terms of product design. Domain decomposition methods offer a comfortable treatment and an efficient simulation technique for materials with varying material parameters and for the coupling of different model problems for the single subdomains. Moreover, domain decomposition methods enable the use of different discretization techniques for the solution of the local subproblems and a rather easy parallelization of the simulation in order to reduce the computational times. Besides the domain decomposition method itself, efficient discretization methods for solving the local subproblems are essential for the performance of the method. In the boundary element method, the variational formulation of the partial differential equation is transferred into a boundary integral equation via integration by parts. Advantages of the boundary element method over the finite element method are the simpler construction of the boundary element mesh, the comfortable treatment of exterior boundary value problems and the immediately available Cauchy data in the case of using direct methods. A disadvantage of the standard boundary element method is that the memory requirements and the computational costs are of at least quadratic complexity. These costs can be reduced to almost linear complexity by the use of fast boundary element methods, as for example the fast multipole method. The main subjects of this thesis are the development of efficient domain decomposition methods and the preparation of fast methods for the solution of the local subproblems. Therefore a fast multipole method for linear elastostatics is developed starting from an existing implementation of the fast multipole method for the Laplace equation. Many parts of this implementation can be re-used due to integration by parts. A consistency analysis ensures the applicability of the fast multipole boundary element method in linear elastostatics. All main properties of the standard boundary element method are preserved in the fast method. Furthermore, an algebraic multigrid method and the use of boundary integral operators of opposite orders for preconditioning are analyzed and used for the Laplace equation and in linear elastostatics. A stabilization technique is presented for the efficient inversion of the hypersingular operator and the Steklov-Poincare operator in linear elastostatics. For reasons of efficiency, the single layer potential of the Laplacian is used as preconditioner. Thus, fast local solution techniques are available for the use in domain decomposition methods. The Boundary element tearing and interconnecting (BETI) method is the domain decomposition method of choice in this thesis. The efficient solution of several formulations of systems of linear equations is considered. These systems of linear equations are solved by iterative methods based on the Bramble-Pasciak CG method. The numerical tests show that the BETI method is faster than the primal Dirichlet domain decomposition method used for comparison, if the multigrid preconditioner is applied to the local single layer potentials. The BETI method is faster especially in the case of mixed boundary value problems which are typical in linear elastostatics. The condition number of the BETI method is independent of jumps in the coefficients. This is a big advantage over the primal domain decomposition methods. In particular in linear elastostatics, the treatment of floating subdomains, which lack sufficient Dirichlet boundary conditions, may get complicated for the BETI method due to the possibly varying number of occurring local rigid body motions. The all-floating BETI formulation, which is introduced in this thesis, unifies the treatment of the single subdomains. Therefore, the realization of the BETI method is simplified, in particular in linear elastostatics. The all-floating formulation seems to be easier realizable than the ideas of the FETI-DP methods. Furthermore, the all-floating formulation enables the use of optimal preconditioners for the local Steklov-Poincare operators. This results in a reduced asymptotic complexity of the all-floating BETI formulation. In the numerical tests, this improved asymptotic behavior can be observed in comparison to the standard BETI formulation and the used primal Dirichlet domain decomposition method.