Shape optimization for two-dimensional transonic airfoil by using the coupling of FEM and BEM

Abstract

This thesis is concentrated on the shape optimization for two-dimensional transonic airfoil by using the coupling of FEM and BEM. The shape optimization is based on the accurate numerical computation of the state equation describing the model. Therefore, first of all we derived the state equation, its variational formulation and soultion by using the coupling of FEM and BEM. The mathematical model considered here is a coupled boundary value problem with the full potential equation in the interior domain, the linearized Prandtl-Glauert equation in the exterior domain, coupling conditions on the coupling boundary and the entropy inequality. The discrete variational formulation for the coulped boundary value problem by using the coupling of FEM and BEM can be reduced to a discrete minimization problem. In the case of transonic flows the penalty function term corresponding to the entropy inequality is added to this minimizing functional. The minimization problem was solved by the conjugate gradient algorithm. The entropy and penalty parameters contained in the minimizing functional depends on the shape of airfoil and travelling velocity. It was chosen reasonable parameters throughout sufficent numerical experiments changing the airfoil shapes, travelling velocity and the angle of attack. Next, for solving the shape optimization it must be derived the adjoint state equation for finding the shape gradient, and to do this it is necessary to find the second order derivative of minimizing functional with respect to the velocity potential. However, in this case the minimizing functional is one time differentiable, not twice because of penalty function term. To this end the approximation function depending on some approximate parameter was defined and based on this function the approximation problem for the original discrete minimization problem was derived. We proved that a sequence of the solutions to the approximate discrete minimization problem converge to the solution of the continuous coupled boundary value problem under some assumptions, and tested its validness with some numerical experiments. Usually one use the parameterization of the airfoil by Bezier curve or B-spline curve in the aerodynamical design in order to reduce the number of the design variables and obtain the physically realistic shape of the airfoil. In this thesis an algorithm for airfoil regeneration by Bezier curve was derived and numerical results on it was shown. It was found the shape sensitivy analysis formula via discrete adjoint state technique, and based on the above preparations a computational algorithm for the shape optimization of two-dimensional transonic airfoil by using the coupled FEM and BEM was built and some numerical results for the inverse design problem and lift constrained drag minimization was shown. The algorithm considered in this thesis can be applied to the shape optimization for various potential problems including nonlinear elliptic boundary value problems.

In dieser Arbeit wurde die Form Optimierung für zwei dimensionale transsonische Flügel mit einer Koppelung von FEM und BEM betrachtet. Die Form Optimierung basiert auf einer exakten numerischen Lösung der Zusatandsgleichung, die das Modell beschreibt. Daher wurden zuerst die Zustandsgleichung und ihre Variationsformulierung hergeleitet und anschließend die Lösung durch eine Kopplung von FEM und BEM berechnet. Das mathematische Modell, das hier betrachetet wird ist eine gekoppeltes Randwertproblem mit der vollen Potentialgleichung im inneren Gebiet, der linearisierten Prandtl-Glauert Gleichung im äußeren Gebiet, Kopplugsbedingungen auf dem Kopplungsgebiet und der Entropieungleichung. Die diskrete Variaonsformulierung für das gekoppelte Randwertproblem unter Verwendung von FEM und BEM kann reduziert werden auf ein diskretes Minimierungsproblem. Im Falle transsonischer Strömungen korrespondiert die Straffunktion mit der Entropieungleichung und wird zum Minimierungsfunktional addiert. Das Minimierungsproblem wurde mit der konjugierten Gradientenmethode gelöst. Die Entropie-und die Strafparameter, die im Mimimierungsfunktional enthalten sind hängen von der Form des Flügels und der Geschwindigkeit ab. Bei den numerischen Beispielen wurden hierfür verschiedene Parameter gewählt, die für verschiedene Formen der Flügel , Geschwindigkeiten und Angriffswinkel stehen. Danach musste, um die Form Optimierung lösen zu können, die adjungierte Zusandsgleichung hergleitet werden. Dazu war es nötig, die zweiten Ableitungen nach dem Geschwindigkeitspotential des Minimierungs Funktionals zu berechnen. Mit Hilfe der adjungierten Zustandsgleichungen konnte der Form Gradient bestimmt werden. Danach wurde die Approximationsfunktion, die von einigen angenäherten Parametern abhängt definiert und ausgehend von dieser Funktion das Näherungsproblem des ursprünglichen Minimierungsproblems berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Folge von Lösungen der Näherung des diskreten Minimierungsroblems, unter gewissen Bedingungen, gegen die Lösung des stetigen gekoppelten Randwertproblems konvergiert. Gewöhnlich wird die Parametrisierung des Flügels mit Bezier Kurven oder B-spline Kurven im ärodynamischen Design durchgeführt, um die Zahl der Konstruktionsvariablen zu reduzieren und man erhält eine physikalisch realistische Form des Flügels. Im Rahmen der Arbeit wurde ein Algorithmus zur Darstelllung des Flügels mit Hilfe von Bezier Kurven hergeleitet und es wurden numerische Ergebnisse darauf gezeigt. Es wurde die Formsensibilität Analysis Formel mit Hilfe der diskreten Adjungierten Zustandstechnik gefunden. Basierend auf den obigen Vorbereitungen konnte ein rechenbarer Algoithmus für die Form Optimierung des zweidimensionalen transsonischen Flügels mit Hilfe der Kopplung von FEM und BEM aufgebaut werden und einige numerische Ergebnisse für das Inverse Modellierungsproblem und eine vom Auftrieb abhängige Widerstandsminimierung wurden gezeigt. Der Algorithmus, der im Rahmen der Arbeit für die Form Optimierung betrachtet wurde, kann auf viele Potentialprobleme, inklusive nichtlinearer elliptischer Randwertprobleme angewandt werden. Die Arbeit konzentriert sich auf die Form Optimierung von zweidimensionalen transsonischen Flügel unter Verwendung der Kopplung von FEM und BEM. Die Form Optimierung basiert auf einer exakten numerischen Lösung der Zusatandsgleichung, die das Modell beschreibt. Daher wurden zuerst die Zustandsgleichung und ihre Variationsformulierung hergeleitet und anschließend die Lösung durch eine Kopplung von FEM und BEM berechnet. Das mathematische Modell, das hier betrachetet wird ist eine gekoppeltes Randwertproblem mit der vollen Potentialgleichung im inneren Gebiet, der linearisierten Prandtl-Glauert Gleichung im äußeren Gebiet, Kopplugsbedingungen auf dem Kopplungsgebiet und der Entropieungleichung. Die diskrete Variaonsformulierung für das gekoppelte Randwertproblem unter Verwendung von FEM und BEM kann reduziert werden auf ein diskretes Minimierungsproblem. Im Falle transsonischer Strömungen korrespondiert die Straffunktion mit der Entropieungleichung und wird zum Minimierungsfunktional addiert. Das Minimierungsproblem wurde mit der konjugierten Gradientenmethode gelöst. Die Entropie-und die Strafparameter, die im Mimimierungsfunktional enthalten sind hängen von der Form des Flügels und der Geschwindigkeit ab. Bei den numerischen Beispielen wurden hierfür verschiedene Parameter gewählt, die für verschiedene Formen der Flügel , Geschwindigkeiten und Angriffswinkel stehen. Danach musste, um die Form Optimierung lösen zu können, die adjungierte Zusandsgleichung hergleitet werden. Dazu war es nötig, die zweiten Ableitungen nach dem Geschwindigkeitspotential des Minimierungs Funktionals zu berechnen. Mit Hilfe der adjungierten Zustandsgleichungen konnte der Form Gradient bestimmt werden. Danach wurde die Approximationsfunktion, die von einigen angenäherten Parametern abhängt definiert und ausgehend von dieser Funktion das Näherungsproblem des ursprünglichen Minimierungsproblems berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Folge von Lösungen der Näherung des diskreten Minimierungsroblems, unter gewissen Bedingungen, gegen die Lösung des stetigen gekoppelten Randwertproblems konvergiert. Gewöhnlich wird die Parametrisierung des Flügels mit Bezier Kurven oder B-spline Kurven im ärodynamischen Design durchgeführt, um die Zahl der Konstruktionsvariablen zu reduzieren und man erhält eine physikalisch realistische Form des Flügels. Im Rahmen der Arbeit wurde ein Algorithmus zur Darstelllung des Flügels mit Hilfe von Bezier Kurven hergeleitet und es wurden numerische Ergebnisse darauf gezeigt. Es wurde die Formsensibilität Analysis Formel mit Hilfe der diskreten Adjungierten Zustandstechnik gefunden. Basierend auf den obigen Vorbereitungen konnte ein rechenbarer Algoithmus für die Form Optimierung des zweidimensionalen transsonischen Flügels mit Hilfe der Kopplung von FEM und BEM aufgebaut werden und einige numerische Ergebnisse für das Inverse Modellierungsproblem und eine vom Auftrieb abhängige Widerstandsminimierung wurden gezeigt. Der Algorithmus, der im Rahmen der Arbeit für die Form Optimierung betrachtet wurde, kann auf viele Potentialprobleme, inklusive nichtlinearer elliptischer Randwertprobleme angewandt werden.