WEB-Approximation elliptischer Eigenwertprobleme

Abstract

Die Finite-Elemente-Methode ist ein wichtiges Hilfsmittel zur numerischen Simulation. Außerdem wird dieses Verfahren häufig zur Lösung partieller Differentialgleichungen angewendet, wie sie zum Beispiel in der Strukturmechanik, Thermodynamik oder bei elektromagnetischen Feldern auftreten. Hier wird im Speziellen das Eigenwertproblem mit Dirichlet-Nullrandbedingungen auf einem beschränkten, zusammenhängenden Gebiet untersucht. Das Eigenwertproblem tritt bei Schwingungsproblemen auf. Als Beispiel hierfür kann die Schwingung großer Gebäude, Brücken, Schornsteine, usw. genannt werden.

Dabei wird nicht mit gewöhnlichen Finite-Elementen gerechnet, sondern mit WEB-Splines. WEB-Splines basieren auf B-Splines. Dies sind stückweise polynomiale Funktionen auf regulären Gittern.

Durch Multiplikation mit einer Gewichtsfunktion werden Dirichlet-Randbedingungen erzwungen. Damit erhält man die WB-Basis aus gewichteten B-Splines. Als Gewichtsfunktion können zum Beispiel die geglättete Abstandsfunktion oder die R-Funktionen nach Rvachev genommen werden.

Bei den gewichteten B-Splines treten noch Stabilitätsprobleme auf. Um dies zu vermeiden, werden die B-Splines mit kleinem Träger im Gebiet an B-Splines mit größerem Träger, die in der Nähe liegen, gekoppelt. Durch die Erweiterung der WB-Basis erhält man die WEB-Basis.

Die reguläre und einfache Gitterstruktur ist ebenfalls ideal für hierarchische Verfeinerungen und den Multigrid-Löser.

Nach der Assemblierung der Massen- und Steifigkeitsmatrix wird das Eigenwertproblem mit dem Lanczos-Algorithmus gelöst. Dabei wird der Lanczos-Algorithmus verbessert, indem man implizite Neustarts einführt und die Spektraltransformation anwendet. Im Algorithmus muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Wie bereits erwähnt, ist die vorhandene Gitterstruktur ideal für den Multigrid-Löser. Dabei können verschiedene Glätter eingesetzt werden, oder der Stufenwechsel kann variieren.

In the automobile, aerospace, and civil engineering industries free undamped vibration of structures is a very important topic. The vibration of buildings, flutter of airplane wings, vibration of membranes, etc leads to an eigenvalue problem with boundary conditions. In this thesis the eigenvalue problem is solved with WEB-splines.

The basis of the finite elements is introduced in chapter 1.

In chapter 2 we establish the basis of the weighted extended B-spline space. B-splines play an important role in approximation of functions and data, computer graphics and computer aided design.

In chapter 3, we proved that the WEB-space has the same approximation order for the eigenvalue problem as other finite element spaces. In section 3.1 we prove the approximation order. Here the boundary must be sufficiently regular and the weight function sufficiently smooth. In section 3.2 we calculate some examples.

When we have the mass and the stiffness matrices of the eigenvalue problem we can approximate the eigenvalues. There are many approaches: calculate the roots of the characteristic polynomial, inverse iteration, QR-iteration, ... The expenditure of time and the computational effort are too high in these procedures. For this reason we use another method. In this thesis the solver is based on the Lanczos algorithm and is explained in chapter 4. Here one approximates the eigenvalues and eigenvectors in Krylov subspaces.

Needing eigenvalues in the middle of the spectrum the spectral transformation is used. The linear system of equations in the spectral transformation is solved with the multigrid algorithm. The main parts of the multigrid algorithm are the smoother and the grid transfer operator. The restriction is used to map a solution to a coarser grid and the prolongation is to get on a finer grid. The property of a smoother is that the error of the approximation becomes smoother. The smoothers are introduced in section 5.1. The multigrid algorithm which is explained in chapter 5 uses a nested sequence of grids.

Chapter 6 describes the implementation of this eigenvalue problem in MATLAB. In Section 6.1 the buildup of the program is explained. We calculate the entries of the mass matrix and the stiffness matrix. We need these matrices on every grid for the multigrid solver. Now we solve the eigenvalue problem with the implicitly restarted Lanczos method. The smoother in the multigrid cycle is the ILU factorization. In section 6.2 we explain the input values in MATLAB.

In chapter 7 surface waves in water in closed domains are investigated. Here the partial differential equation is the wave equation. Also acoustic and electromagnetic waves can be represented with this equation. The grid width must be small enough to ensure an accurate solution. The wave elevation should be small in comparison with the water depth. In this example we have Neumann boundary conditions. The boundary conditions describe a vertical, perfectly reflecting wall. Since in this example time is more important than accuracy only linear box-splines are implemented.

In this thesis we show that the WEB-spline basis is a good alternative to standard finite element approximations for the eigenvalue problem.