WEB-Approximation auf CSG-Objekten

Abstract

Die Methode der Finiten Elemente hat in vielen Bereichen der Industrie, wie beispielsweise in der Autoindustrie, eine wichtige Rolle eingenommen. Einen gitterfreien Ansatz mit gewichteten, erweiterten B-Splines als Basisfunktionen stellt die von Höllig, Reif und Wipper entwickelte WEB-Methode dar. Die Gewichtung der B-Splines erfolgt anhand einer Gewichtsfunktion des Gebietes, die im Inneren strikt positiv, außerhalb des Gebietes strikt negativ ist und auf dem Rand verschwindet. Instabilitäten durch B-Splines, die nur einen kleinen Teil zur Lösung beitragen, werden durch die Erweiterung der inneren B-Splines um diese vermieden. Als Gebiete werden Quadriken verwendet, deren implizite Darstellung direkt eine Gewichtsfunktion liefert, die durch Mengenoperationen zu komplexeren Objekten verknüpft werden. Eine Gewichtsfunktion für das daraus entstehende Gebiet erhält man mit den von Rvachev entwickelten R-Funktionen. Zur Berechnung der Integrale, die notwendig sind, um das Ritz-Galerkin-System aufzustellen, werden Gauß-Formeln verwendet. Für Gitterzellen, die vollständig innerhalb des Gebietes liegen, sind diese einfach anzuwenden als Tensorprodukt der univariaten Formeln; werden die Zellen allerdings vom Rand des Gebietes geschnitten, muss der für die Integrale relevante Bereich in Simplizes unterteilt werden, über denen exakt integriert werden kann. Die Aufteilung in Dreiecke beziehungsweise Tetraeder im Dreidimensionalen erfordert eine Analyse der möglichen Schnitte des Gebietsrandes mit einzelnen Gitterzellen. Für die Triangulierung oder Tetraedisierung der Randzellen sind einfache Algorithmen, die die Besonderheiten der Schnittfälle und der als Grundobjekte verwendeten Quadriken berücksichtigen, entwickelt worden. Einen vollständig neuen Ansatz zur Berechnung der Integrale über den Randzellen, der in dieser Arbeit vorgestellt wird, stellt das Konstruieren und Trainieren eines neuronalen Netzes dar.

The finite elements method has taken an important role in many parts of modern industry, for example in the automotive industry. A meshfree approach with weighted extended b-splines as basis functions is the web-method developed by Höllig, Reif and Wipper. For the weigthing of the b-splines a weight function for the domain is used. A weight function is a function that vanishes on the boundary of the domain, that is strictly positive on the inside and strictly negative on the outside. Instabilities caused by b-splines that contribute only a very small part to the solution are avoided by extending the inner b-splines with these. For the domain quadrics are used as simple objects that are combined by boolean operations to more complex objects. While quadrics have their own weights functions implicitly, weight functions for the resulting domains are obtained through Rvachevs r-functions. Gauß-quadrature-formulas are used to compute the integrals that are necessary for assembling the Ritz-Galerkin-system. Tensorproduct formulas can be used for cells lying completely inside the domain. For cells that are intersected by the boundary of the domain it is necessary to subdivide the inner part of the cell into simplices on which integration is possible. The subdivision in triangles or tetrahedra requires an analysis of all possible intersections of the cell with the domain's boundary. For subdividing the domains in two and three dimensions simple algorithms are given that take into account the specialities of the different cases of intersections and of the quadrics used as simple objects for the domains. A completely different and new approach presented in this work is the use of a neural network for integration over the boundary cells.