Exceptional points in atomic spectra and Bose-Einstein condensates

Abstract

Exceptional points are a special type of degeneracy which can appear for the resonances of parameter-dependent quantum spectra described by non-Hermitian Hamiltonians. They represent positions in the parameter space at which two or even more resonances pass through a branch point singularity. At the critical parameter values, the energies, the widths, and the wave functions describing the resonances are identical. The branching eigenstates show a geometric phase for a parameter space loop around the branch point. In this thesis exceptional points are investigated in two important quantum systems. The first system is the hydrogen atom in crossed external electric and magnetic fields. It is a representative for the class of atoms in static external fields, which are as fundamental quantum system accessible both with experimental and theoretical methods and are ideally suited to study the influence of exceptional points. The resonance spectra of the hydrogen atom are numerically calculated with the complex rotation method. A procedure to systematically search for exceptional points is elaborated and the existence of exceptional points is proven. The influence of the branch point singularities on the resonance energies, the wave functions, and the photoionization cross section is analyzed. In addition, a possibility for the observation of exceptional points in an experiment with atoms is proposed. The investigation of the resonances in spectra of the hydrogen atom in this thesis furthermore reveals structures which can provide an insight into the ionization mechanism. The ionization mechanism of the hydrogen atom in crossed electric and magnetic fields has been investigated, e.g., by application of the transition state theory. Here, calculations are performed which give clear evidence for an important influence of the classical transition state in the quantum spectrum. A second class of quantum systems in which exceptional points appear are the stationary states of Bose-Einstein condensates. They are described by the nonlinear Gross-Pitaevskii equation and it is known that by a variation of the system's parameters the ground state and a second stationary solution are born together in a tangent bifurcation. It is pointed out in this thesis that the mean field energies, the chemical potentials, and the wave functions show at the point of bifurcation the behavior of an exceptional point. The results allow for the extension of the concept of exceptional points to nonlinear quantum systems. Two types of condensates are investigated for this purpose. Bose-Einstein condensates with a laser-induced gravity-like 1/r interaction exhibit analytic solutions which directly prove the existence of exceptional points. The results obtained in this system are used to identify and describe exceptional points in the Bose-Einstein condensation of dipolar gases which is of high experimental interest and has already been realized.

Exceptional points oder Ausnahmepunkte stellen eine besondere Art einer Entartung dar. Sie kann bei Resonanzen in parameterabhängigen Quantensystemen, die durch einen nicht-hermiteschen Hamiltonoperator beschrieben werden, auftreten. Ausnahmepunkte sind Orte im Parameterraum, an denen zwei oder sogar mehr Resonanzen eine Verzweigungssingularität durchlaufen. An den kritischen Parameterwerten sind die Energien, die Breiten und die Wellenfunktionen, die die Resonanzen beschreiben, identisch. Die zwei mit der Verzweigung verbundenen Zustände weisen für eine Umrundung der Verzweigungssingularität eine geometrische Phase auf. In der vorliegenden Arbeit werden Ausnahmepunkte in zwei wichtigen Quantensystemen untersucht. Das erste System ist das Wasserstoffatom in gekreuzten, externen elektrischen und magnetischen Feldern. Es vertritt die Klasse der Atome in statischen äußeren Feldern, die als fundamentale Quantensysteme sowohl experimentell als auch mit theoretischen Methoden zugänglich sind und ideal geeignet sind, um den Einfluss der Ausnahmepunkte zu studieren. Die Resonanzen des Wasserstoffatoms werden numerisch unter Zuhilfenahme der Methode der komplexen Rotation berechnet. Eine Vorgehensweise, Ausnahmepunkte gezielt aufzuspüren, wird ausgearbeitet und die Existenz von Ausnahmepunkten wird nachgewiesen. Der Einfluss der Verzweigungssingularitäten auf die Energien der Resonanzen, die Wellenfunktionen und den Photoionisationswirkungsquerschnitt wird analysiert. Darüber hinaus wird eine Möglichkeit vorgeschlagen, Ausnahmepunkte in einem Experiment mit Atomen in äußeren Feldern zu beobachten. Die Untersuchung der Resonanzen in Spektren des Wasserstoffatoms, die in dieser Arbeit durchgeführt wird, deckt weiterhin Strukturen auf, die einen Einblick in den Ionisationsmechanismus erlauben. Die Ionisation des Wasserstoffatoms in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern wurde z.B. unter Anwendung der klassischen Theorie der Übergangszustände untersucht. Die hier vorgestellten Rechnungen zeigen eindeutige Hinweise auf einen wichtigen Einfluss des klassischen Übergangszustands auf Quantenspektren. Eine zweite Klasse von Quantensystemen, in denen Ausnahmepunkte auftreten, stellen die stationären Zustände von Bose-Einstein-Kondensaten dar. Diese lassen sich durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschreiben. Es ist bekannt, dass gemeinsam mit dem Grundzustand bei Variation der Systemparameter ein zweiter stationärer Zustand der Gross-Pitaevskii-Gleichung aus einer Tangentenbifurkation heraus entsteht. In der vorliegenden Arbeit wird aufgezeigt, dass die Gesamtenergien, die chemischen Potentiale und die Wellenfunktionen dieser beiden Zustände am Bifurkationspunkt das Verhalten eines Ausnahmepunkts aufweisen. Die Ergebnisse erlauben es, das Konzept des Ausnahmepunkts auf nichtlineare Quantensysteme auszuweiten. Zwei Arten von Kondensaten werden zu diesem Zweck untersucht. Bose-Einstein-Kondensate mit einer laserinduzierten, gravitationsartigen 1/r-Wechselwirkung liefern durch analytisch darstellbare Lösungen einen direkten Beweis für die Existenz der Ausnahmepunkte. Die in diesem System erhaltenen Ergebnisse lassen sich dann nutzen, um Ausnahmepunkte auch im experimentell besonders interessanten und bereits realisierten Fall der Bose-Einstein-Kondensation dipolarer Gase zu identifizieren und zu beschreiben.