Modeling, simulation, and nonlinear analysis for film flow over inclined wavy bottoms

Abstract

The gravity-driven free surface flow of a viscous liquid down an inclined plane has various engineering applications, for instance in cooling and coating processes. However, in many applications the bottom is not flat but has a wavy profile. This may be due to natural irregularities or by design, e.g., to increase the contact area in heat conductors. Thus, studying the stability of stationary solutions over wavy inclines is of great interest. If perturbations of the free surface decay to zero, we call the stationary solution stable, otherwise unstable. From linear analysis it is well known that stability is mainly determined by the dimensionless Reynolds number R, which is a measure for the ratio of inertial forces to viscous forces. More precisely, there exists a critical Reynolds number Rc depending on the bottom waviness and the inclination angle such that the free surface becomes unstable for R > Rc.

In this thesis, we first derive model equations for the evolution of the film thickness F and the local flow rate Q. In case of a thin film over a weakly undulated bottom, we can introduce a small perturbation parameter which allows to solve the underlying Navier-Stokes equations by an asymptotic expansion approach. Using this solution as ansatz and test function in a Galerkin method for the downstream momentum equation, we obtain a system of parabolic partial differential equations for F and Q. According to the used methods, this is called weighted residual integral boundary layer (WRIBL) equation.

Comparing numerical simulations of the WRIBL equation with available experimental data and full Navier-Stokes numerics, we can justify its validity for a large range of parameters. Since we used a second-order velocity profile in the Galerkin method, we can even simulate parameter regimes for which eddies occur in the troughs of the bottom. Moreover, by reducing the inclination angle we find a new phenomenon, namely a short wave instability for laminar flows, which does not exist over flat bottoms.

Finally, we prove nonlinear stability of stationary solutions in the spectrally stable situation, which corresponds to Reynolds numbers smaller than Rc. To be more precise, we show that small perturbations decay in a universal manner determined by the Burgers equation. Since the WRIBL equation has a whole family of stationary solutions, the corresponding linear differential operator always has essential spectrum up to zero. Thus, stability cannot be shown by considering the linear system alone. Instead, we have to take into account the full nonlinearity, where we encounter the following difficulties. In contrast to a flat bottom, where the linearized WRIBL equation can be analyzed by Fourier transform, here we have to use Bloch analysis to generalize the spectral theory from spatially homogeneous stationary solutions to spatially periodic ones. Furthermore, since the WRIBL equation is quasilinear, we cannot show local existence and uniqueness of solutions by applying the variation-of-constants formula but rather have to use the method of maximal regularity. The asymptotic decay behavior of perturbations follows then by a renormalization process.

Viskose Flüssigkeitsströmungen über geneigte Böden treten in einer Vielzahl von technologisch wichtigen Bereichen auf, beispielsweise bei Beschichtungs- und Kühlvorgängen. Bei letzteren kann durch eine Vergrößerung der Kontaktfläche zwischen Boden und Fluid die Effizienz deutlich gesteigert werden. Darüber hinaus sind bei realen Strömungen stets Bodenunebenheiten vorhanden, sodass es von besonderem Interesse ist, gewellte Untergründe zu betrachten. Eine der wesentlichen Fragen hierbei ist die Stabilität stationärer Lösungen. Klingen kleine Störungen in der Fluidoberfläche mit der Zeit ab, so nennt man die Lösung stabil. Wachsen sie hingegen an und entstehen z. B. einzelne Pulse, so ist sie instabil. Durch lineare Stabilitätsanalysen ist bekannt, dass das Stabilitätsverhalten maßgeblich von der dimensionslosen Reynoldszahl bestimmt wird, welche das Verhältnis von Trägheits- und Reibungskräften beschreibt. So existiert abhängig vom Neigungswinkel und der Bodenwelligkeit eine kritische Reynoldszahl Rc, oberhalb derer die Strömung instabil wird.

Als erstes werden ausgehend von den Navier-Stokes-Gleichungen, welche das Geschwindigkeitsfeld der Strömung beschreiben, Modellgleichungen für die Filmdicke und die lokale Flussrate hergeleitet. Im praktisch relevanten Fall eines dünnen Films über einem leicht gewellten Boden kann ein Störungsparameter eingeführt werden, der die asymptotische Entwicklung von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen ermöglicht. Benutzt man diese als Ansatzfunktion in einem Galerkin-Verfahren, erhält man ein nichtlineares System parabolischer partieller Differentialgleichungen für die zeitliche Entwicklung der Filmdicke und der Flussrate. Aufgrund der angewendeten Methoden wird dieses System Weighted Residual Integral Boundary Layer (WRIBL) Gleichung genannt.

Durch den Vergleich mit sowohl experimentellen Daten als auch voller Navier-Stokes-Numerik wird anschließend in numerischen Simulationen die Gültigkeit des Modells für einen großen Parameterbereich nachgewiesen. Dieser schließt aufgrund der speziellen Wahl des Geschwindigkeitsfeldes bei der Herleitung der WRIBL Gleichung sogar Fälle ein, bei denen in den Bodensenken Wirbel auftreten. Des Weiteren wird für kleine Neigungswinkel eine Kurzwelleninstabilität laminarer Strömungen beobachtet, die es im Fall eines flachen Bodens nicht gibt.

Schließlich wird gezeigt, dass stationäre Lösungen im linear stabilen Fall, also für Reynoldszahlen unterhalb der kritischen Reynoldszahl Rc, nichtlinear stabil sind und lokale Störungen der freien Oberfläche analog zu den selbstähnlichen Lösungen der viskosen Burgers-Gleichung abklingen. Da die WRIBL Gleichung aufgrund der freien Oberfläche eine ganze Familie stationärer Lösungen mit unterschiedlicher mittlerer Filmdicke besitzt, hat die Linearisierung um eine stationäre Lösung stets ein essentielles Spektrum bis an die imaginäre Achse. Deshalb muss die WRIBL Gleichung mit ihrer vollen Nichtlinearität untersucht werden, wobei im Wesentlichen die folgenden beiden Schwierigkeiten auftreten. Zum einen muss aufgrund der periodischen Koeffizienten die über flachem Boden verwendete Fourieranalysis durch das Konzept der Blochwellen ersetzt werden. Zum anderen ist die WRIBL Gleichung quasilinear, sodass zum Nachweis lokaler Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung die Methode der maximalen Regularität benötigt wird. Das Abklingen der Störung und damit insbesondere globale Existenz liefert anschließend ein Renormierungsprozess.