Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-4928
Authors: Grave, Frank
Title: The Gödel universe : physical aspects and egocentric visualizations
Other Titles: Das Gödel-Universum : physikalische Aspekte und egozentrische Visualisierungen
Issue Date: 2010
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-53795
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/4945
http://dx.doi.org/10.18419/opus-4928
Abstract: Albert Einstein, often characterized as the "greatest physicist of all time", has revealed the curved nature of space and time when he founded the general theory of relativity, which was verified on the large scale in numerous experiments over the last century. Kurt Gödel - the famous logician, mathematician and philosopher - is best known for his incompleteness theorem, being one of the most important theorems of mathematical logic. During their time in Princeton, Gödel and Einstein became close friends. Both were outstanding researchers in their respective fields of study and, luckily, the symbiosis yielded fruit. Most notably, Gödel found a general relativistic model with a multitude of intriguing and counter-intuitive properties: The Gödel universe. Kurt Gödel's universe is one of the most interesting exact solutions of Einstein's equations. This model represents an alternative universe merely consisting of homogeneous dust which is rotating around every point. In addition to its mathematical beauty and simplicity resulting from the high symmetry of the underlying spacetime, this metric demonstrates an intrinsic property of the general theory of relativity: It describes a theoretically feasible spacetime in which time travel is possible beyond an optical horizon. This work targets the following question: Is it possible to conceive a mental image of such a peculiar universe? Therefore, we derive the analytical solution of the geodesic equations of Gödel's universe for both particles and light in a special set of coordinates, which reveals the physical properties of this spacetime in a very transparent way. We also recapitulate the equations of isometric transport for points and derive the solution for Gödel's universe. The equations of isometric transport for vectors are introduced and solved. We utilize these results to transform different classes of curves along Killing vector fields. In particular, we generate non-trivial closed timelike curves (CTCs) from circular CTCs. All analytical results then serve as a starting point for visualizations of the Gödel universe. We illustrate optical effects from a first person's point of view: What does an observer in the Gödel universe actually see? These egocentric visualizations of a general relativistic spacetime illustrate aspects of Einstein's insights to the expert as well as to the layperson. Using raytracing in four dimensions, we are able to adopt such an egocentric point of view. This well-known approach is characterized by its generic rendering procedure. It can be applied as long as an analytical expression for a metric is available. Unfortunately, this method is very costly and we are only able to utilize ambient illumination. However, due to the relatively simple structure of the geodesics in Gödel's universe, it is possible to devise a technique which directly calculates the appearance of an object - as long as it is resting or moving quasistatically - without the explicit generation of primary ray segments or tedious intersection calculations. Along with programmable graphics hardware, we achieve a tremendous speedup for the visualization of general relativistic effects. This enables us to interactively explore physical aspects and optical effects of Gödel's universe. We also demonstrate how the analytical solutions allow for a dynamic lighting with local illumination models. Beyond that, a straightforward shadow model can be realized. Our implementation is tailored for Gödel's universe and is at least four to five orders of magnitude faster than previous approaches. However, we must rely on raytracing for the visualization of fast moving objects. Above all mathematical considerations and technical innovations, this work presents egocentric visualizations of time travel within general relativity which has not yet been done. To facilitate the understanding of the optical appearance of the Gödel universe, a multitude of insightful scenarios is introduced. We increase the complexity factor of the scenes slowly but steadily: From the simplest shapes, such as coordinate grids or spheres, via illuminated and non-primitive objects through to time traveling entities or a fictional solar system where a spaceship is flying into the starry sky. Here we go on a journey through the Gödel universe!
Albert Einstein, oftmals als "der größte Physiker aller Zeiten" bezeichnet, hat die gekrümmte Beschaffenheit von Raum und Zeit aufgespürt, als er die allgemeine Relativitätstheorie entwickelte. In den letzten hundert Jahren wurde diese Theorie in zahlreichen Experimenten als eine korrekte Beschreibung der Welt für große Längenskalen bestätigt. Auf der anderen Seite ist Kurt Gödel durch seinen Unvollständigkeitssatz bekannt, welcher einer der wichtigsten Sätze der mathematischen Logik ist. Während ihrer gemeinsamen Zeit in Princeton wurden Gödel und Einstein enge Freunde. Beide waren in ihren jeweiligen Forschungsgebieten herausragende Wissenschaftler und diese Symbiose hat glücklicherweise Früchte getragen. Gödel konnte insbesondere ein allgemeinrelativistisches Modell auffinden, welches sich durch eine Vielzahl an faszinierenden und kontraintuitiven Eigenschaften auszeichnet: Das Gödel-Universum. Das Universum von Kurt Gödel ist eine der interessantesten exakten Lösungen der Gleichungen von Einstein. Dieses Modell beschreibt ein alternatives, aber theoretisch mögliches Universum, welches einzig und allein aus homogenem und um jeden Punkt rotierenden Staub besteht. Neben seiner mathematischen Eleganz und Einfachheit, welche aus der hohen Symmetrie der zugrunde liegenden Raumzeit resultiert, zeigt diese Metrik eine intrinsische Eigenschaft der allgemeinen Relativitätstheorie auf: In diesem Modell offenbart sich die Möglichkeit von Zeitreisen hinter einem optischen Horizont. Diese Arbeit zielt auf die folgende Frage ab: Ist es möglich, eine Vorstellung von solch einem ungewöhnlichen Universum zu entwickeln? In dieser Arbeit wird die analytische Lösung der Geodätengleichungen für Teilchen und Licht für das Gödel-Universum hergeleitet. Dazu werden spezielle Koordinaten verwendet, welche die physikalischen Eigenschaften dieser Raumzeit sehr klar zum Vorschein bringen. Außerdem werden die Gleichungen des isometrischen Transports von Punkten rekapituliert und deren Lösung für das Gödel-Universum bestimmt. Zudem werden die Gleichungen des isometrischen Transports von Vektoren hergeleitet und gelöst. Diese Ergebnisse werden verwendet, um verschiedene Kategorien von Kurven entlang von Killing-Vektorfeldern zu transportieren. Insbesondere werden dadurch nicht-triviale geschlossene zeitartige Kurven (closed timelike curves oder CTCs) aus kreisförmigen CTCs erzeugt. Alle analytischen Resultate dienen als Ausgangspunkt für Visualisierungen des Gödel'schen Universums. Um herauszufinden, was ein Beobachter im Gödel-Universum tatsächlich sieht, werden die optischen Effekte in der Ich-Perspektive dargestellt. Diese egozentrischen Visualisierungen einer allgemeinrelativistischen Raumzeit verdeutlichen dem Experten (aber auch dem wissenschaftlichen Laien) viele Aspekte der Erkenntnisse Einsteins. Solch eine Sichtweise wird mit Hilfe von vierdimensionalem Raytracing ermöglicht, welches durch seine generische Rendering-Prozedur gekennzeichnet ist. Sie kann immer dann angewendet werden, wenn ein analytischer Ausdruck der Metrik gegeben ist. Leider ist dieser Ansatz sehr teuer und ermöglicht ausschließlich ein ambientes Beleuchtungsmodell. Aufgrund der relativ einfachen Struktur der Geodäten im Gödel-Universum kann jedoch ein spezialisiertes Verfahren entwickelt werden, welches dieses Problem vermeidet. Diese Methode berechnet das Erscheinungsbild eines Objektes direkt, ohne Primärstrahlsegmente zu erzeugen oder langwierige Schnittberechnungen durchzuführen, solange dieser Gegenstand ruhend oder quasistatisch bewegt wird. Unter Verwendung von programmierbarer Grafikhardware wird dadurch eine gewaltige Beschleunigung der Visualisierung allgemeinrelativistischer Effekte erzielt. Dadurch wird es möglich, physikalische Eigenschaften und optische Effekte des Gödel'schen Universums interaktiv zu erforschen. Zusätzlich wird durch die analytischen Lösungen der Weg für eine dynamische Beleuchtung unter Verwendung eines lokalen Beleuchtungsmodells geebnet. Darüber hinaus kann ein sehr einfaches Schattenmodell realisiert werden. Die Implementierung ist für das Gödel-Universum maßgeschneidert und ist dabei mindestens vier bis fünf Größenordnungen schneller als bisherige Ansätze. Allerdings muss für die Visualisierung schnell bewegter Objekte auf klassisches Raytracing zurückgegriffen werden. Jenseits aller mathematischen Erörterungen und technischen Neuerungen stellt diese Arbeit die erste Veröffentlichung dar, welche Zeitreisen im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie in einer egozentrischen Sichtweise visualisiert. Eine Vielzahl aufschlussreicher Szenarien wird dabei untersucht: Von den einfachsten Formen wie Koordinatengittern oder Kugeln, über beleuchtete und nicht-primitive Objekte, bis hin zu zeitreisenden Gegenständen oder einem fiktiven Sonnensystem, durch welches ein Raumschiff in den Sternenhimmel fliegt. Auf zu einer Reise durch das Gödel-Universum!
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