Robust numerical algorithms for dynamic frictional contact problems with different time and space scales

Abstract

In many technical and engineering applications, numerical simulation is becoming more and more important for the design of products or the optimization of industrial production lines. However, the simulation of complex processes like the forming of sheet metal or the rolling of a car tire is still a very challenging task, as nonlinear elastic or elastoplastic material behaviour needs to be combined with frictional contact and dynamic effects. In addition, these processes often feature a small mobile contact zone which needs to be resolved very accurately to get a good picture of the evolution of the contact stress. In order to be able to perform an accurate simulation of such intricate systems, there is a huge demand for a robust numerical scheme that combines a suitable multiscale discretization of the geometry with an efficient solution algorithm capable of dealing with the material and contact nonlinearities. The aim of this thesis is to design such an algorithm by combining several different methods which are described in the following. Our main field of application is structural mechanics. Here, we base the implementation on finite element methods in space and implicit finite difference schemes in time. The conditions for both plasticity and frictional contact are given in terms of a set of local inequality constraints which are formulated by introducing additional inner or dual degrees of freedom. As the meshes are generally non-matching at the contact interface, we employ mortar techniques to incorporate the contact constraints in a variationally consistent way. By using biorthogonal basis functions for the discrete multiplier space, the contact conditions can be enforced node-wise, and a two-body contact problem can be solved in the same way as a one-body problem. The next step in the construction of an efficient solution algorithm is to reformulate the local inequality conditions for plasticity and contact in terms of nondifferentiable equalities. These nonlinear complementarity functions can be combined with the equations for the bulk material to form a set of nonlinear semismooth equations which are then solved by means of a generalized form of the Newton method. Due to the local structure of the inequality constraints, this iterative scheme can be implemented as an active set strategy where the active sets are updated in each Newton iteration. Further, the additional dual degrees of freedom can easily be eliminated using local static condensation. We remark that the well-known radial return method is a special case of this general framework if the plastic hardening laws are linear. However, the convergence properties of the Newton iteration strongly depend on the choice of the NCP function. In this context, we show that the function corresponding to the radial return method is not optimal, and we present a family of modified NCP functions which allow for better convergence results. Another important issue for the robust simulation of dynamic contact problems is related to the inertia terms. If standard time discretization schemes like the trapezoidal rule are used, the contact stress often shows spurious oscillations in time that become worse when the time step is refined. In order to avoid this effect, we employ a modified mass matrix where no mass is associated with the contact nodes. By this, the original semi-discrete system decouples into an algebraic equation in time for the contact nodes and an ordinary differential equation in time for the other nodes. This in turn leads to much smoother results for the contact stress. We present an efficient way of obtaining the modified mass matrix by means of non-standard quadrature formulas used only for the elements near the contact boundary. Furthermore, we prove optimal a priori error estimates for the modified semi-discrete as well as for the fully discrete system, provided that the contact stress is given and that the solution is sufficiently regular. In the last part of the thesis, we deal with the situation that the body features fine local structures near the contact zone by incorporating the multiscale aspect into the discretization. For this, the domain is decomposed into several overlapping subdomains which have different grid spacing; one global mesh that does not resolve the details and overlapping local patches with a fine triangulation. Based on a surface coupling by means of the mortar method, we construct an iterative solution scheme for the coupled problem whose convergence rate is bounded independently of the mesh size or the Lame parameters. Finally, we employ the subdomain decomposition for introducing a finer time step size on the patch. We present suitable interface conditions with no numerical dissipation and prove a priori error estimates with respect to time for the resulting coupled energy-conserving system. The latter can efficiently be solved by the iterative procedure presented before.

Die numerische Simulation zeitabhängiger mechanischer Prozesse wird immer häufiger für die Entwicklung und Verbesserung industrieller Produkte sowie die Optimierung von Produktionsabläufen eingesetzt. Typische Beispiele für entsprechende Anwendungen sind der reibungsbehaftete Kontakt eines rollenden Autoreifens mit einer Asphaltstraße oder die schrittweise Blechumformung mittels eines sich bewegenden Werkstücks. Mathematisch werden diese Vorgänge mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen oder -ungleichungen beschrieben, deren analytische Lösungen im allgemeinen nicht bekannt sind. Daher ist die Entwicklung robuster numerischer Verfahren zur Bestimmung von Näherungslösungen äußerst wichtig und von enormem Interesse für eine Vielzahl von Anwendern. Für die dazu nötige Diskretisierung des zu simulierenden Objektes werden häufig moderne Finite-Elemente-Methoden sowie stabile Zeitintegratoren verwendet, die auch die Grundlage dieser Arbeit bilden. Weiter stellt die Konstruktion eines effizienten Lösungsverfahrens für das diskrete Problem eine nicht zu unterschätzende Herausfordung dar, da neben verschiedenen nichtlinearen und teilweise inkompressiblen Materialien auch die Einflüsse von Kontakt und Plastizität berücksichtigt werden müssen. Die beiden oben genannten Beispiele weisen darüber hinaus eine lokale sich bewegende Kontaktzone auf, an der die Diskretisierung möglichst detailliert sein muss, um z. B. die zeitliche Entwicklung der Kontaktspannungen genau erfassen zu können. Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung robuster numerischer Verfahren für die Simulation dynamischer Kontaktprobleme elastoplastischer Körper, wobei die feinere Auflösung der Kontaktzone mittels eines Gebietszerlegungsansatzes realisiert wird. Diese Technik ermöglicht einerseits die Verwendung von unterschiedlichen Orts- und Zeitskalen in den einzelnen Teilgebieten und bildet andererseits die Grundlage für ein effizientes iteratives Verfahren zur Lösung des Gesamtproblems, wie im Laufe dieser Arbeit gezeigt wird. Die Kopplung zwischen den Teilgebieten sowie zwischen den Kontaktflächen wird mittels eines Mortar-Ansatzes realisiert, der eine konsistente Kraftübertragung auch für geometrisch nichtkonforme Gitter sicherstellt. Die Methode basiert auf der Einführung zusätzlicher Unbekannter entlang der Schnittfläche, der sogenannten Lagrange--Multiplikatoren, welche physikalisch den Oberflächen-- bzw. Kontaktspannungen entsprechen. Für die diskrete Beschreibung der Multiplikatoren bietet sich die Verwendung von dualen Ansatzfunktionen an, da so die Kontaktbedingungen entkoppeln und für jeden Kontaktknoten einzeln eingearbeitet werden können. Ein ähnliches Vorgehen ist auch für die Plastizitätsbedingungen möglich, so dass sich insgesamt ein System von lokalen Ungleichungs- und Komplementaritätsbedingungen ergibt. Diese können äquivalent als nichtdifferenzierbare Gleichungen, sogenannte nichtlineare Komplementaritätsfunktionen, geschrieben werden, welche zusammen mit den diskreten Bewegungs-- und Materialgleichungen ein System halbglatter Gleichungen bilden. Wird dieses System mit Hilfe eines entsprechenden Newton-Verfahrens gelöst, ergibt sich ein effizientes iteratives Verfahren, das lokal superlinear konvergiert und dabei sämtliche Nichtlinearitäten innerhalb einer Schleife berücksichtigt. Man beachte, dass z.B. das klassische Radial-Return-Verfahren für lineare Verfestigung als ein solches halbglattes Newton-Verfahren interpretiert werden kann. Allerdings hängt der Konvergenzradius und damit die Robustheit der Newton-Iteration entscheidend von der Wahl der Komplementaritätsfunktionen ab. Daher ist ein Teil der Arbeit der Konstruktion und der Untersuchung geeigneter Komplementaritätsfunktionen gewidmet. Eine weitere Schwierigkeit für die Simulation dynamischer Kontaktprobleme ergibt sich aufgrund der Trägheitskräfte am Kontaktrand. Werden gebräuchliche Zeitintegratoren wie z.B. die Trapezregel verwendet, so weisen die berechneten Kontaktspannungen eine unphysikalische Oszillation in der Zeit auf, deren Amplitude bei kleiner werdendem Zeitschritt anwächst. Um diesen störenden Effekt zu vermeiden, verwenden wir eine Modifikation der Massenmatrix derart, dass die zu den Kontaktknoten gehörenden Einträge zu Null werden. Dadurch lässt sich das zeitabhängige System in eine gewöhnliche Differentialgleichung für die inneren Knoten und eine algebraische Gleichung für die Kontaktverschiebungen aufteilen, was zu einer höheren Regularität der Kontaktspannungen führt. Innerhalb dieser Arbeit wird die effiziente Konstruktion dieser modifizierten Massenmatrix sowie die Auswirkungen der Modifikation untersucht.