On the U-module structure of unipotent Specht modules of finite general linear groups

Abstract

Gordon James investigated the Specht modules of the symmetric groups: For each partition of n there is a Specht module defined in terms of the intersection of the kernels of certain homomorphisms. Following the philosophy that GLn(q) is a q analog to Sn, Gordon James defined the unipotent Specht modules over a field F for GLn(q). If the characteristic of F is coprime to q then the dimension of the unipotent Specht module is independent of F. Indeed one expects the representation theory for GLn(q) to translate into that for Sn by setting q equal 1. In the sense of the conjecture by Richard Dipper and Gordon James, we have the analogous concept of standard basis. This conjecture was proved by Marco Brandt, Richard Dipper, Gordon James and Sinead Lyle for the case of a two part partition. But the proof is rather combinational hence it seems the method there will not work for an arbitrary partition. Our new strategy is to investigate the FU module structure of the unipotent Specht module. The advantage of restriction to FU module is that FU is semisimple, since by general assumption the characteristic of the field is coprime to q.

Gordon James definiert Spechtmoduln für symmetrische Gruppen: Für jede Partition von n gibt es einen Spechtmodul von Sn, der als Schnitt von Kernen gewisser Homomorphismen definiert ist. In der Tat gibt es eine Basis von den Spechtmoduln, die durch standard Tableaux indiziert ist. Diese Basis heißt Standardbasis. In der Philosophie, dass GLn(q) ein q Analog zu Sn ist, definiert Gordon James den unipotenten Spechtmoduln über einem Körper F für GLn(q). Die Dimension von den unipotenten Spechtmoduln ist unabhängig von F, falls die Charakteristik von F koprim zu q ist. Wir hoffen, die Darstellungstheorie von GLn(q) zu der von Sn übersetzen zu können. Im Sinne der Vermutung von Richard Dipper und Gordon James haben wir den analogen Begriff der Standardbasis. Marco Brandt, Richard Dipper, Gordon James und Sinead Lyle zeigen diese Vermutung für den Fall, dass Partition eine 2 Teile Partition ist. Da der Beweis sehr kombinatorisch ist, scheint es unwahrscheinlich, dass diese Methoden für beliebige partition funktionieren. Dies motiviert uns neue Methoden zu finden. Unsere neue Strategie ist: Untersuchung der FU Modul Struktur von den unipotenten Spechtmoduln. Der Vorteil der Einschränkung zu FU Moduln ist, dass FU halbeinfach ist, wenn die Charakteristik von F koprim zu q ist.