Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-5068
Authors: Abrar, Muhammad
Title: Dominant dimensions of finite dimensional algebras
Other Titles: Dominante Dimensionen endlich dimensionaler Algebren
Issue Date: 2012
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-75483
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/5085
http://dx.doi.org/10.18419/opus-5068
Abstract: We study the dominant dimensions of three classes of finite dimensional algebras, namely hereditary algebras, quotient algebras of trees and serial algebras. We see that a branching vertex plays a key role to establish that the dominant dimension (dom.dim) of hereditary algebras (quivers) is at most one. We define arms of a tree and split trees into two classes: trees without arms and trees with arms. Like hereditary algebras, it turns out that the dominant dimension of the quotient algebras of trees can not exceed one. For serial algebras A associated to linearly oriented quiver with n vertices, we give lower and upper bounds of dom.dimA, and show that the bounds are optimal. It is also shown that some of the algebras A satisfy the conditions in the higher dimensional version of the Auslander's correspondence. Further we consider serial algebras corresponding to one-oriented-cycle quiver Q with n vertices, and give optimal bounds for a special subclass of these algebras. We conjecture that for any non self-injective quotient algebra A of Q dom.dimA is at most 2n-3, where the number of vertices n is bigger than 2.. Finally, we construct few examples of algebras having large (finite) dominant dimensions.
Wir untersuchen die dominanten Dimensionen von drei Klassen endlich dimensionaler Algebren: erbliche Algebren, Quotientenalgebren von Bäumen und einreihige Algebren. Wir sehen, dass ein Verzweigungspunkt eine entscheidende Rolle dafür spielt, dass die dominante Dimension (dom.dim.) erblicher Algebren (Köcher) höchstens eins beträgt. Wir definieren Arme von Bäumen und teilen Bäume in zwei Klassen auf: Bäume ohne Arme und Bäume mit Armen. Wie bei erblichen Algebren stellt sich heraus, dass die dominante Dimension von Quotientenalgebren von Köcheralgebren zu endlichen Bäumen nicht größer als eins ist. Für einreihige Algebren A, die zu einem linear orientierten Köcher mit n Punkten assoziiert sind, geben wir untere und obere Schranken für dom.dimA an und zeigen, dass diese Schranken optimal sind. Es wird auch gezeigt, dass einige dieser Algebren A die Bedingungen der höherdimensionalen Auslander Korrespondenz erfüllen. Weiter betrachten wir einreihige Algebren die Köchern Q, bestehend aus einem orientierten Zykel mit n Punkten, entsprechen und geben optimale Schranken für spezielle Teilklassen dieser Algebren. Wir vermuten, dass die dominante Dimension einer beliebigen nicht selbst-injektiven Quotientenalgebra A von Q mit n>2 Punkten höchstens 2n-3 beträgt. Zuletzt konstruieren wir einige Beispiele von Algebren mit großer (endlicher) dominanter Dimension.
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