Laufende Wellenlösungen von Systemen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen am Beispiel von Mehrphasenströmungen in porösen Medien

Abstract

Obwohl die Anwendungen der Theorie der Mehrphasenströmungen in porösen Medien äußerst zahlreich und in den letzten hundert Jahren intensiv erforscht worden sind, ist das Verhalten auf makroskopischer Skala bis heute nicht verstanden. Darunter sind insbesondere die Hysterese und die residualen Fluidkonfigurationen zu zählen. Hilfer stellt in Physical Review E, Vol. 73, 016307, 2006 ein Modell vor, das die zwei Phasen in jeweils perkolierende und nichtperkolierende Phasen unterteilt. Seitdem konnten Doster und Hilfer erste vielversprechende Ergebnisse für das Modell finden. Darunter waren z.B. hyperbolische Ähnlichkeitslösungen, wie das Buckley-Leverett-Problem für immobile nichtperkolierende Phasen.

Eine andere Ähnlichkeitslösung, nämlich die der laufenden Wellen, soll hier in dieser Arbeit auf das Modell angewandt werden. Laufende Wellen zeichnen sich dadurch aus, dass die Sättigungsprofile sich in der Form nicht ändern und sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegen. Sie bedient sich der Theorie der dynamischen Systeme, um eine qualitative Beschreibung zu ermöglichen. Laufende Wellen sind zum einen interessant, weil sie in verschiedenen Experimenten beobachtet wurden, zum anderen aber auch, weil sie gewisse Schwierigkeiten im Buckley-Leverett-Problem beheben können.

Das traditionelle und das in Physical Review E, Vol. 73, 016307, 2006 vorgeschlagene Modell wird in einer Raumdimension vorgestellt. Für das neue Modell werden dabei einige Näherungen besprochen, um Systeme einer, zweier oder dreier dimensionsloser fraktionaler Flussgleichungen zu erhalten. Die aus einem laufenden Wellenansatz dieser Systeme gewonnen Gleichungen werden mit einer dynamischen Systembeschreibung besprochen. Zuletzt werden Lösungen gezeigt, die direkt aus den partiellen Differentialgleichungen durch einen numerischen Algorithmus berechnet werden können. Hierbei werden geeignete Anfangs- und Randwerte gesucht, die stabile laufende Wellen ermöglichen.

In Transport in Porous Media, Vol. 44, pp. 507-537, 2001 wurden von Brevdo et al. vier topologisch unterschiedliche laufende Wellenprofilklassen für das traditionelle Modell gefunden. In dieser Dissertation wird nun gezeigt, dass die Annahme, dass der Wasserfluss überall zu jeder Zeit stetig ist, zu Bedingungen führt, die die nichtdifferenzierbaren Wellenprofilklassen entweder auf ein bezüglich der Randwertsättigungen und der Geschwindigkeit eindeutiges Profil reduziert oder aber komplett ausschließt. Dies hängt vom Verhalten der Flussfunktionen und der Kapillarfunktionen ab. Bei den Parametrisierungsmodellen nach Brooks und Corey und nach Van Genuchten werden die nichtdifferenzierbaren Lösungsklassen ausgeschlossen. Die überall stetig differenzierbare Klasse besitzt die Eigenschaft, dass ihre Profile eindeutig durch die Randwertsättigungen und die Geschindigkeiten bestimmt werden. Damit ist es in dieser Arbeit gelungen, alle qualitativen Informationen der laufenden Wellenlösung in nur einer Abbildung darzustellen. Die Ergebnisse des Perkolationsmodell mit immobilen nichtperkolierenden Sättigungen unterscheiden sich im Vergleich zum traditionellen Modell darin, dass primäre und sekundäre Bewässerungen unterschieden werden können, was zu verschiedenen Geschwindigkeiten führt. Desweiteren ist es nun möglich, ein komplett trockenes Medium mit einer überall stetig differenzierbaren Welle zu bewässern.

Bei mobilen nichtperkolierenden Phasen müssen zusätzliche Näherungen getroffen werden, um eine dynamische Systembeschreibung des laufenden Wellenansatzes zu ermöglichen. So muss die Kapillarität vereinfacht werden. Es kann nun zu nichtmonotonem Verhalten in allen vier Phasen kommen. Außerdem können sich Überschusslösungen in der Wassersättigung ergeben. Es werden für verschieden starke Näherungen Lösungen gezeigt, die die Auswirkungen einzelner Aspekte, wie die der gekoppelten Flüsse oder die des Massenaustausches, beleuchten. Die gekoppelten Flüsse spielen gerade bei den Überschusslösungen in der Wassersättigung eine herausragende Rolle. Die Massenaustauschterme können je nachdem, ob sie als Quellen oder Senken dienen, Überschüsse oder Unterschüsse in den einzelnen Phasen zulassen. Da sie jedoch nur zwischen den perkolierenden und nichtperkolierenden Phasen einer Flüssigkeit vorkommen, lassen sie die Wassersättigungsprofile monoton. Mit Hilfe eines numerischen Algorithmus' lassen sich geeignete Anfangs- und Randwerte finden, die in stabilen laufenden Wellenlösungen enden. Bei weniger restriktiven Annahmen kommen entweder ein oder zwei Freiheitsgrade hinzu. Dabei ist die Eindeutigkeit für gegebene Randwerte im Gegensatz zu den Lösungen für das traditionelle Modell nicht mehr gegeben. Dies geht auf die zusätzlichen Freiheitsgrade in den Anfangsbedingungen dreier oder vierer Phasen zurück, die entstehen, indem man die Wellen der einzelnen Phasen relativ zueinander verschieben kann.

Although the applications of the theory of multiphase flow in porous media are very high in number and they have been subject to intense research over the last century, the macroscopic behaviour is far from being understood. Especially, the hysteresis and the residual fluid configurations on macroscopic scales are accountable for this shortcoming. In Physical Review E, Vol. 73 016307, 2006, Hilfer presented a model that splits up each of the two fluid phases into a percolating and nonpercolating phase. Since then, first promising results and insights about this model have been reached by Doster and Hilfer. These include e.g. hyperbolic similarity solutions such as the Buckley-Leverett problem for the limit of immobile nonpercolating fluid parts.

Applying a different similarity solution, namely the travelling waves, on this new proposed model is subject to this thesis. Travelling waves are saturation profiles which propagate with a constant velocity without changing their shape. This approach employs the theory of dynamical systems to enable a qualitative description of the solutions. Travelling waves are of interest not only because they are observed in many experiments, but also because they can resolve some problems present in the Buckley-Leverett theory.

In the first part of the thesis, the traditional and the newly in Physical Review E, Vol. 73, 016307, 2006 proposed model are introduced in one spatial dimension. Some approximations are implemented for the new model to obtain systems of one, two or three dimensionless fractional flow equations. They are consecutively discussed in a quantitative manner applying a dynamical system approach within the framework of a travelling wave ansatz in the second part of the thesis.

The first chapter of the second part starts by discussing travelling waves of the traditional model. This was partly already done in Transport in Porous Media, Vol. 44, pp. 507-537, 2001 by Brevdo et al. for the linear and Brooks and Corey parameter functions. They found four topological different profile classes, where three of them had kinks and only one is everywhere continuous differentiable. This thesis shows that if one assumes a permanent continuous water flux on the whole domain, then only the everywhere continuous differentiable profile class is valid under the parametrizations of Brooks and Corey and of Van Genuchten. It is noted that theoretical models with certain conditions could lead to profiles with kinks which are unique in their boundary saturations and their velocity. In this work, only the everywhere continuous differentiable profile class is therefore discussed in full detail. Moreover, considering only this class gives new opportunities to qualitatively describe all possible solutions, especially the unique correspondence between the boundary saturations and the velocity. In the limit of immobile nonpercolating phases of the percolation model, it is possible now to distinguish between primary and secondary imbibition leading to significantly different velocities. Moreover, everywhere continuous differentiable imbibitions into a completely dry medium are possible now.

The second and third chapter of the second part shows that a travelling wave approach is suitable to the new model when either one or two nonpercolating phases are present and mobile, but only under additional approximations. The capillarity need to be decoupled, otherwise a dynamical system cannot be formulated. The aspect of mass exchange and the aspects of coupled flux functions are discussed separately. Mass exchange depending on its sign can serve as a sink or source. That can lead to undershoot or overshoot solutions in all of the four phases, but it cannot lead to an overshoot or undershoot in water saturation because mass exchange only appears between percolating and nonpercolating phases of a fluid. Coupled flux functions instead give solutions which not only show overshoots in the phases, but also in the water saturation. It can be seen that in the most general case of systems of three equations, there are invariant lower dimensional submanifolds which help to structure the whole phase space. Moreover the systems of two equations can be found on them. In the single equation systems, there was a unique correspondence between the boundary saturations and the velocity. This is lost here because one or two degrees of freedom appear.

Finally, in the last chapter of the second part, solutions are shown that are directly carried out of the partial differential equations by a numerical algorithm. All profiles found in the previous part can be seen numerically and all of them appear stable. The additional degrees of freedom in the systems of two or three equations can be found in the initial conditions where it is possible to shift the initial profiles relatively to each other. The reason for the water overshoots can be identified and described by the coupled fluxes.