Spectral theory of quantum graphs

Abstract

We study some spectral problems for quantum graphs with a potential. On the one hand we analyze the quantitative dependence of bound states of the Schrödingeroperator on the potential. On the other hand we generalize certain basic identities from the one-dimensional scattering theory to quantum graphs.

The first paper is concerned with the study of the discrete negative spectra of quantum graphs. We use the method of trace identities (sum rules) to derive inequalities of Lieb-Thirring, Payne-Polya-Weinberger, and Yang types, among others. We show that the sharp constants of these inequalities and even their forms depend on the topology of the graph. Conditions are identified under which the sharp constants are the same as for the classical inequalities; in particular, this is true in the case of trees. We also provide some counterexamples where the classical form of the inequalities is false.

The second paper deals with the scattering problem for the Schrödinger equation on the half-line with the Robin boundary condition at the origin. We derive an expression for the trace of the difference of the perturbed and unperturbed resolvent in terms of a Wronskian. This leads to a representation for the perturbation determinant and to trace identities of Buslaev-Faddeev type.

In the third paper we generalize results from the half-line case to the full graph case. More precisely, we consider the Schrödinger problem on a star shaped graph with n edges joined at a single vertex. A trace formula is derived for the difference of the perturbed and unperturbed resolvent in terms of a Wronskian. This leads to representations for the perturbation determinant and the spectral shift function, and to an analog of Levinson's formula.

Besides these three articles this thesis also contains some further results. The method of sum rules is applied to the modified Schrödinger operator with variable coefficients to obtain a Lieb-Thirring type inequality with optimal constant. Furthermore, Lieb-Thirring inequalities are studied for star shaped graphs by using variational arguments and the method of symmetry decomposition of the corresponding Hilbert space. In several cases this leads to optimal constants in the inequalities.

Diese Arbeit beinhaltet Untersuchungen von Spektralproblemen für Quantengraphen mit Potential. Einerseits analysieren wir die quantitative Abhängigkeit der Eigenwerte des Schrödingeroperators vom Potential. Andererseits verallgemeinern wir gewisse elementare Identitäten von der eindimensionalen Streutheorie auf Quantengraphen.

Im ersten Artikel wird das diskrete negative Spektrum von Quantengraphen analysiert. Dabei verwenden wir die Methode der Summenformeln, um Ungleichungen vom Lieb-Thirring-, Payne-Polya-Weinberger- und Yang- Typ herzuleiten. Wir zeigen, dass die scharfen Konstanten für diese Ungleichungen, und sogar ihre Gestalt, von der Topologie des Graphen abhängen. Es werden Bedingungen angegeben, unter welchen die scharfen Konstanten mit den scharfen Konstanten für den klassischen Fall des Ganzraumes übereinstimmen. Insbesondere ist dies der Fall für metrische Bäume. Desweiteren konstruieren wir Gegenbeispiele, für welche die klassischen Konstanten falsch sind.

Der zweite Artikel befasst sich mit dem Streuproblem für den Schrödingeroperator auf der Halbachse mit Robin-Randbedingung. Wir leiten einen Ausdruck für die Spur der Differenz von der gestörten und der ungestörten Resolvente her, welche eine Wronski-Determinante beinhaltet. Dies führt zu einer Darstellung der Störungsdeterminante und zu Spurformeln vom Buslaev-Faddeev-Typ.

Im dritten Artikel werden Resultate aus dem zweiten Artikel verallgemeinert auf sternförmige Quantengraphen, die aus n Halbachsen bestehen, welche in einem einzigen Knotenpunkt verbunden sind. Wir beweisen eine Spurformel für die Differenz der gestörten und der ungestörten Resolvente, welche eine Wronski-Determinante beinhaltet. Dies führt wiederum zu einer Darstellung der Störungsdeterminante und zu einem Analogon der Levinson-Formel.

Über diese drei Hauptteile hinaus beinhaltet diese Arbeit mehrere weitere Resultate. Mit der Methode der Summenformeln leiten wir für den modifizierten Schrödingeroperator mit variablen Koeffizienten eine Lieb-Thirring-Ungleichung mit einer optimalen Konstante her. Desweiteren werden mit Hilfe von Variationsargumenten und der Symmetriezerlegung des entsprechenden Hilbertraumes Lieb-Thirring Ungleichungen für den sternförmigen Graphen bewiesen. In zahlreichen Fällen erhalten wir dabei die optimale Konstante.