The Hartree-Fock equations in quantum mechanics

Abstract

In the dissertation at hand various aspects of the Hartree-Fock approximation for non-relativistic atoms are considered, in particular the uniqueness of solutions to the Hartree-Fock equations and the existence of ground states in the case of simply charged negative ions. Moreover, we provide new results concerning the related Hartree and Pekar functionals.

The first part of this work is devoted to the uniqueness of critical points of the Hartree-Fock functional. It is shown that the minimizer of this functional is unique, if the number of electrons satisfies a certain closed shell condition and the nuclear charge is large enough. Under these assumptions, we also prove the existence and uniqueness of further critical points for the Hartree-Fock functional. Furthermore, we provide a similar result for a restricted Hartree-Fock functional. As an application we obtain a uniqueness result for the minimizer of the Hartree functional.

The second part is concerned with several restricted Hartree-Fock functionals, which appear, for example, for closed shell atoms, and we ask whether a minimizer exists for atoms with nuclear charge Z and N electrons. It turns out that the restricted Hartree-Fock functionals for closed shell atoms possess a minimizer, if Z >= N-1. Additionally, we provide sufficient conditions for the existence of minimizers in the case Z = N-1 within the UHF theory.

In the third part, we investigate the magnetic Pekar functional. We establish the existence of a minimizer for this functional in the case of a constant magnetic field. Beyond, we consider the situation, where the constant magnetic field is perturbed locally and an external scalar potential is turned on. It turns out that the perturbed Pekar functional possesses a minimizer, if the perturbations are energy reducing. The existence of minimizers allows us to give an easy proof for the binding of two polarons in the model of Pekar and Tomasevich.

In der vorliegenden Dissertation werden verschiedene Aspekte der Hartree-Fock-Approximation für nichtrelativistische Atome behandelt, inbesondere die Eindeutigkeit von Lösungen der Hartree-Fock-Gleichungen und die Existenz von Grundzuständen im Fall einfach negativ geladener Ionen. Zudem beweisen wir neue Resultate für die verwandten Hartree- und Pekar-Funktionale.

Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit der Eindeutigkeit kritischer Punkte des Hartree-Fock-Funktionals. Es wird gezeigt, dass der Minimierer dieses Funktionals eindeutig ist, falls die Anzahl der Elektronen eine gewisse Volle-Schalen-Bedingung erfüllt und die Kernladung hinreichend groß ist. Unter diesen Voraussetzungen weisen wir auch die Existenz und Eindeutigkeit weiterer kritischer Punkte des Hartree-Fock-Funktionals nach. Außerdem geben wir ein ähnliches Ergebnis für ein restringiertes Hartree-Fock-Funktional an. Als Anwendung erhalten wir ein Eindeutigkeitsresultat für den Minimierer des Hartree-Funktionals.

Der zweite Teil der Arbeit handelt von verschiedenen restringierten Hartree-Fock-Funktionalen, die zum Beispiel bei Atomen mit vollen Schalen auftreten. Hier stellen wir die Frage nach der Existenz eines Minimierers für Atome mit Kernladung Z und N Elektronen. Es zeigt sich, dass die restringierten Hartree-Fock-Funktionale für Atome mit vollen Schalen einen Minimierer besitzen, falls Z >= N-1. Zudem geben wir hinreichende Bedingungen für die Existenz von Minimierern im Fall Z = N-1 innerhalb der UHF-Theorie an.

Im dritten Teil untersuchen wir das magnetische Pekar-Funktional. Wir weisen die Existenz eines Minimierers dieses Funktionals im Fall eines konstanten Magnetfeldes nach. Darüber hinaus betrachten wir die Situation, dass das konstante Magnetfeld lokal gestört wird und ein externes skalares Potential eingeschaltet wird. Es stellt sich heraus, dass das gestörte Pekar-Funktional einen Minimierer besitzt, falls die Störungen zu einer Energiesenkung führen. Die Existenz der Minimierer erlaubt es uns, einen einfachen Beweis für die Bindung zweier Polaronen im Modell von Pekar und Tomasevich zu geben.