On torsion subgroups and their normalizers in integral group rings

Abstract

In view of the Zassenhaus conjectures we show that p-subgroups of the normalized units of integral group rings of p-constrained groups are rationally conjugate to subgroups of a group basis, extending a known result. Moreover, we prove that the corresponding statement holds for 2-subgroups, given that the group basis has abelian Sylow 2-subgroups of order at most 8. We provide an affirmative answer for the prime graph question for the groups SL(2, q), q an odd prime power.

The 'classical' normalizer problem asks, if a group basis is normalized in the unit group of the integral group ring by products of group elements and central units. After an overview of known results we consider the corresponding question for subgroups of a group basis. We obtain a positive answer for certain isomorphism types of subgroups, comprising e.g. all cyclic groups, and for certain types of normal subgroups. Considering, for a fixed group basis, the question if there is an affirmative answer to the normalizer problem for all its subgroups we provide a positive answer for all locally nilpotent torsion groups and certain metacyclic groups.

The last chapter deals with centralizers of subgroups of a group basis in the unit group of an integral group ring. Besides results dealing directly with the centralizers we use the methods of this chapter to prove that the prime graph of the normalizer of an isolated subgroup (of a finite group) in the group and in the normalized unit group of an integral group ring coincide.

Zunächst wird im Hinblick auf die Zassenhaus Vermutung gezeigt, dass p-Untergruppen der normierten Einheiten eines ganzzahligen Gruppenrings einer p-beschränkten Gruppe rational zu einer Untergruppe einer Gruppenbasis konjugiert sind. Weiterhin wird bewiesen, dass die entsprechende Aussage für 2-Untergruppen gilt, sofern die betrachtete Gruppenbasis abelsche 2-Sylowgruppen von Ordnung höchstens 8 hat. Es wird darüber hinaus eine positive Antwort auf die Primgraphfrage für die Gruppen SL(2, q) gegeben, falls q eine ungerade Primzahlpotenz ist.

Als 'klassisches' Normalisatorproblem wird die Frage bezeichnet, ob eine Gruppenbasis in der Einheitengruppe eines ganzzahligen Gruppenring nur von Produkten aus Gruppenelementen und zentralen Einheiten normalisiert wird. Nach einem Überblick über bekannte Resultate wird die entsprechende Frage für Untergruppen von Gruppenbasen betrachtet. Es wird für bestimme Isomorphie-Typen von Untergruppen, unter anderem für zyklische Untergruppen, und für bestimmte Typen von normalen Untergruppen eine positive Antwort erzielt. Es wird die entsprechende Eigenschaft auch für alle Untergruppen einer Gruppenbasis bewiesen, falls die Gruppenbasis eine lokal nilpotente Torsionsgruppe ist oder zu einer bestimmten Klasse metazyklischer Gruppen gehört.

Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit Zentralisatoren von Untergruppen einer Gruppenbasis. Die Methoden werden, neben Beweisen von Aussagen über solche Zentralisatoren selbst, auch dazu verwendet, um zu zeigen, dass der Primgraph des Normalisators einer isolierten Untergruppe (einer endlichen Gruppe) in der Gruppenbasis und in der Einheitengruppe des zugehörigen ganzzahligen Gruppenringes übereinstimmen.