An adaptive finite element method for control-constrained optimal control problems

Abstract

Many problems from physics like heat conduction and energy conservation lead to partial differential equations (PDEs). Only some of them can be solved directly; in general one has to rely on approximation techniques like the Finite Element Method (FEM). Adaptive Finite Elements intend to only increase accuracy in those parts of the domain where the error is large relative to the rest of the domain. The gain in accuracy that can be achieved by this, in comparison to the classical FEM, depends on the exact solution itself. In this thesis the weak formulation of a PDE constitutes the side-constraint of an optimizing problem. Usually this consists of a convex functional that is minimized with respect to two variables - control and state - which are connected via the side-constraint. Additionally the control has to satisfy further constraints. To be able to apply Adaptive Finite Elements one needs to construct error- estimators that satisfy certain properties. In contrast to previous results in this field, this thesis uses a general approach to find error-estimators. This approach includes distributed and boundary-control as well as the cases of discretized and non-discretized control. The particularities of the involved PDE are only of interest when choosing the appropriate estimators for the linear subproblems from the toolbox. The other main contribution of this thesis consists of three convergence results. One for non-discretized control, one for discontinuous and one for continuous control-discretizations. We not only prove the convergence of the solution but also of the estimator which implies that the algorithm terminates for any given tolerance TOL > 0. Finally, a few numerical examples with boundary-control are investigated for varying marking strategies and estimators.

Viele Probleme der Physik wie Wärmeleitung oder Energieerhaltung führen zu partiellen Differentialgleichungen. Diese können nur in Einzelfällen direkt gelöst werden, im Allgemeinen müssen Näherungs-Verfahren wie die Finite Elemente Methode herangezogen werden. Adaptive Finite Elemente sollen gezielt nur in den Teilen des Gebietes die Genauigkeit erhöhen, in denen der Fehler groß ist relativ zum Rest des Gebietes. Der Effektivitätsgewinn, der dadurch im Vergleich zu der klassischen Finite Elemente Methode erzielt werden kann, hängt von der exakten Lösung selber ab. In dieser Arbeit stellt die schwache Formulierung einer partiellen Differentialgleichung die Nebenbedingung eines Optimierungsproblemes dar. Üblicherweise handelt es sich dabei um ein konvexes Funktional, das in Abhängigkeit von zwei Variablen - Steuerung und Zustand - minimiert wird. Diese Variablen sind über die Nebenbedingung gekoppelt, außerdem wird die Steuerung zusätzlichen Schranken unterworfen. Um die Methode der adaptiven Finite Elemente anzuwenden, muss zunächst ein Fehlerschätzer mit gewissen Eigenschaften konstruiert werden. Im Gegensatz zu den hierzu bereits vorhandenen Resultaten verwendet diese Arbeit eine allgemeine Herangehensweise, die sowohl verteilte und Rand-Steuerung, als auch diskretisierte und nicht-diskretisierte Steuerung berücksichtigt. Die Differentialgleichung spielt nur bei der Wahl von geeigneten Fehlerschätzern für die linearen Teilprobleme eine Rolle. Der andere Haupbeitrag dieser Arbeit besteht in drei Konvergenzresultaten. Eines für nicht diskretisierte Steuerung, eines für nicht-stetig diskretisierte Steuerung und eines für stetig diskretisierte Steuerung. Neben der Konvergenz der Lösung wird auch die des Fehlerschätzers gezeigt, was garantiert, dass der Algorithmus für jede beliebig kleine Toleranz terminiert. Den Abschluss bilden einige Modellrechnungen für Randkontrolle mit verschiedenen Schätzern und Markierungsstrategien.