The q-Brauer algebras

Abstract

This thesis studies structural properties of the q-Brauer algebra over a commutative ring with identity or a field of any characteristic p ≥ 0. Over a commutative ring with identity we first construct a cell basis for the q-Brauer algebra and then show that the q-Brauer algebra is a cellular algebra in the sense of Graham and Lehrer. Subsequently, we classify all simple modules, up to isomorphism, of the q-Brauer algebra over a field of any characteristic. This classification is reproved by combinatorial language after constructing another new basis for the q-Brauer algebra which is a lift of the Murphy basis of the Hecke algebra of the symmetric group. This new basis enables us to prove that in general, there does not exist an algebra isomorphism between the q-Brauer algebra and the BMW-algebra. Over a field of any characteristic we determine the choices of parameter such that the q-Brauer algebra is quasi-hereditary. Moreover, we show that the q-Brauer algebra is cellularly stratified by providing a suitable iterated inflation structure. This implies results about the uniqueness of Specht filtration multiplicities of the q-Brauer algebra, as well as the existence of Young modules and a Schur algebra of the q-Brauer algebra.

Diese Dissertation untersucht strukturelle Eigenschaften von q-Brauer Algebren über einem kommutativen Ring mit Einselement oder einem Körper der Charakteristik p ≥ 0. Wir konstruieren zunächst eine Zell-Basis für die q-Brauer Algebra über einem kommutativen Ring mit Einselement und zeigen dann, dass die q-Brauer Algebra zelluär ist im Sinne von Graham und Lehrer. Anschlieend klassifizieren wir alle einfachen Moduln bis auf Isomorphie für den Fall der q-Brauer Algebra über einem Körper beliebiger Charakteristik. Des Weiteren geben wir einen alternativen Beweis dieser Klassifikation in kombinatorischer Sprache an. Dieser Beweis verwendet die Konstruktion einer weiteren neuen Basis der q-Brauer Algebra, welche eine Hochhebung der sogenannten Murphy Basis der Hecke Algebra der symmetrischen Gruppe ist. Diese neue Basis erlaubt es uns auch zu zeigen, dass die q-Brauer Algebra und die BMW-Algebra als Algebren im Allgemeinen nicht isomorph sein können. Im Falle der q-Brauer Algebra über einem Körper beliebiger Charakteristik bestimmen wir weiterhin die Werte des Parameters, für die die q-Brauer Algebra quasi-erblich ist. Auerdem zeigen wir, dass die q-Brauer Algebra zellulär stratifiziert ist durch Angabe einer entsprechenden iterierten Aufblasungsstruktur. Dies wiederum impliziert Ergebnisse über die Eindeutigkeit von Specht-Filtrierungsvielfachheiten der q-Brauer Algebra, sowie die Existenz von Young Moduln und Schur Algebren für q-Brauer Algebren.