Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-5103
Authors: Wellig, David
Title: On polarons and multipolarons in electromagnetic fields
Other Titles: Polaronen und Multipolaronen in elektromagnetischen Feldern
Issue Date: 2013
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-86403
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/5120
http://dx.doi.org/10.18419/opus-5103
Abstract: This dissertation is concerned with a system of so-called large polarons in electromagnetic fields. We are especially interested in the ground state energy in the case of strong interactions between electrons and phonons, the strength of which is described by a coupling constant, and in the existence of bound states of several polarons. For the description of the polarons we use the model of H. Fröhlich, as well as the approximative models of Pekar, and Pekar and Tomasevich. The conjecture, that the ground state energies of these models asymptotically coincide in the leading order of the coupling constant, was the starting point of this work. We prove this conjecture for a large class of external electromagnetic fields. A suitable scaling of the fields makes sure, that they already play a non-trivial role in the leading order. The asymptotic coincidence of the ground state energies allows us to trace back the question of binding of Fröhlich polarons in the case of large couplings to the corresponding question in the model of Pekar and Tomasevich. The transcription of this dissertation is divided into four chapters, of which the introduction is the first one. The Chapters 2, 3 and 4 constitute three independent publications. The Chapter 2 is dedicated to the Pekar functional with electromagnetic fields. We proof the existence of a minimizer in the case of a constant magnetic field and a vanishing electric field. The minimizer exists as well, if this field configuration is locally perturbed such that the minimal energy is lowered. From the existence of the minimizer of the Pekar functional we derive binding of two polarons in the model of Pekar and Tomasevich. In Chapter 3, we compare the ground state energy of the 1-particle Fröhlich model in the limit of strong couplings with the minimum of the corresponding Pekar functional. We prove the above mentioned conjecture in the case of a single polaron. This result, in connection with the results of Chapter 2, allows us to prove binding of two Fröhlich polarons in strong electromagnetic fields. In Chapter 4 the analysis of the previous chapter is extended to N-polaron systems. To do so, an estimate of the interaction energy of spatially divided clusters of polarons in electromagnetic fields is derived. This allows us to proof the asymptotic exactness of the minimal energy of the Pekar-Tomasevich functional for strong couplings, whereas, as in Chapter 3, the external fields are suitably rescaled. As an application binding for N polarons in constant strong magnetic fields is proved.
Diese Dissertation handelt von Systemen von sogenannten großen Polaronen in elektromagnetischen Feldern. Wir interessieren uns insbesondere für die Grundzustandsenergie im Fall starker Kopplungen zwischen Elektronen und Phononen und für die Existenz von Bindungszuständen zwischen mehreren Polaronen. Zur Beschreibung der Polaronen verwenden wir das Modell von H. Fröhlich, sowie die approximativen Modelle von Pekar, und Pekar und Tomasevich. Die Vermutung, dass die Grundzustandsenergie dieser Modelle asymptotisch für starke Kopplungen in führender Ordnung übereinstimmen, war der Ausgangspunkt dieser Arbeit. Wir beweisen diese Vermutung für eine große Klasse äußerer elektromagnetischer Felder. Eine geeignete Skalierung der Felder sorgt dafür, dass sie bereits in führender Ordnung eine nicht-triviale Rolle spielen. Die asymptotische Übereinstimmung der Grundzustandsenergien erlaubt es uns, die Frage nach der Bindung von Fröhlich Polaronen im Fall großer Kopplungen auf die entsprechende Frage im Modell von Pekar und Tomasevich zurückzuführen. Die Niederschrift dieser Dissertation ist unterteil in vier Kapitel, wobei das erste die Einleitung ist. Die Kapitel 2, 3 und 4 stellen drei unabhängige Publikationen dar. Das Kapitel 2 ist dem Pekarfunktional mit elektromagnetischen Feldern gewidmet. Wir beweisen die Existenz eines Minimierers im Fall wo das Magnetfeld konstant ist und das elektrische Feld verschwindet. Der Minimierer existiert aber auch dann, wenn diese Feldkonfiguration lokal so gestört wird, dass die minimale Energie dabei reduziert wird. Aus der Existenz eines Minimierers des Pekarfunktionals leiten wir die Bindung von zwei Polaronen im Modell von Pekar und Tomasevich her. In Kapitel 3 vergleichen wir die Grundzustandsenergie des 1-Teilchen Fröhlich Modells im Limes starke Kopplungen mit dem Minimum des entsprechenden Pekarfunktionals. Wir beweisen die oben erwähnte Vermutung im Fall eines einzigen Polarons. Dieses Resultat, in Verbindung mit den Ergebnissen aus Kapitel 2, erlaubt es uns die Bindung zweier Fröhlich Polaronen in starken elektromagnetischen Feldern zu beweisen. In Kapitel 4 wird die Analyse aus dem vorherigen Kapitel auf N-Polaronen ausgeweitet. Es wird eine Abschätzung der Wechselwirkungsenergie räumlich getrennter Gruppen von Polaronen in elektromagnetischen Feldern hergeleitet. Diese erlaubt es uns die asymptotische Exaktheit der Minimalenergie des Pekar-Tomasevichfunktionals für starke Kopplungen zu beweisen, wobei, wie in Kapitel 3, die externen Felder geeignet skaliert werden. Als Anwendung wird Bindung von N Polaronen in konstanten starken Magnetfeldern bewiesen.
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