On the centralizer algebras of tensor products of irreducible Weyl modules

Abstract

Tensor products of natural modules and their centralizers are well-studied in the literature. This thesis extends classical results to tensor products of irreducible Weyl modules over a quantum group. We show that their centralizer algebras are cellular in the generic case, as pointed out in the literature, as well as under specializations. Their cellular basis, the dual canonical centralizer basis, is constructed directly from Lusztig's canonical basis of the tensor space and is given explicitly. It turns out that the cells can be derived directly from the Weyl filtration. We also describe the projective and simple modules of these centralizer algebras and describe the tensor space as module of the centralizer algebra. It is furthermore shown that the decomposition matrix of cell modules can be described in terms of Weyl filtrations of indecomposable tilting modules. The results obtained cover classical results where, for example, the centralizer is a quotient of the Hecke algebra. The latter has the Kazhdan-Lusztig basis as cellular basis. It turns out that the dual canonical centralizer basis coincides up to lower cell ideals with the Kazdan-Lusztig basis. Therefore, the dual canonical centralizer basis is a generalization of the Kazhdan-Lusztig basis to a much wider class of algebras.

Tensorprodukte natürlicher Moduln und ihre Zentralisatoren sind in der Literatur gut untersucht. Diese Arbeit erweitert klassische Ergebnisse auf Tensorprodukte irreduzibler Weylmoduln für eine Quantengruppe. Es wird gezeigt, dass diese Zentralisatoralgebren zellulär sind sowohl im generischen Fall, wie bereits in der Literatur angemerkt, als auch unter Spezialisierung. Ihre zelluläre Basis, die duale kanonische Zentralisatorbasis, wird direkt aus Lusztigs kanonischer Basis auf dem Tensorraum konstruiert und explizit angegeben. Es werden die projektiven und einfachen Moduln dieser Zentralisatoralgebren beschrieben ebenso wie die Struktur des Tensorraums als Modul des Zentralisators. Es wird weiterhin gezeigt, dass die Zerlegungsmatrix der Zellmoduln duch die Weylfiltrierung unzerlegbarer Kippmoduln beschrieben werden kann. Die erzielten Ergebnisse decken auch klassische Fälle ab, wo z.B. der Zentralisator Quotient der Hecke Algebra ist. Letztere hat u.a. die Kazhdan-Lusztig-Basis als zelluläre Basis. Es stellt sich heraus, dass die duale kanonische Zentralisatorbasis bis auf tieferliegende Zellideale mit den Kazhdan-Lusztig-Basis übereinstimmt. Damit ist die duale kanonische Zentralisatorbasis eine Verallgemeinerung der Kazhdan-Lusztig-Basis auf eine wesentlich größere Klasse von Zentralisatoralgebren.