Model reduction for nonlinear systems : kernel methods and error estimation

Abstract

In this thesis we deal with model reduction for dynamical systems and multiscale models. Special emphasis are the application of kernel methods for nonlinear approximation and a-posteriori error estimation for reduced dynamical systems. The considered nonlinear approximation techniques comprise support vector machines, greedy-type vectorial algorithms and the DEIM along with some analysis. Those techniques are applied to provide approximations to nonlinear parts of dynamical systems that can be efficiently evaluated in the context of Galerkin projection based model reduction schemes. Furthermore, a-posteriori error estimation procedures are developed for both kernel-based and POD-DEIM reduced systems. In the context of multiscale model reduction, we show that the nonlinear approximation techniques introduced earlier can be successfully applied to provide cheap surrogate models for the micro scale.

Die Modellierung und Simulation natürlicher oder technischer Prozesse spielt inzwischen eine wichtige Rolle in der Forschung und Industrie. Die nach wie vor anwachsenden Hardwarekapazitäten erlauben dabei immer detailliertere, höher aufgelöste Simulationen in bisher undenkbaren Größenordnungen. Jedoch sind viele realistische Modelle parametrisiert durch z.B. variablen Vorgaben in Form- oder Material. In vielen Anwendungen wie der Optimierung oder Kontrolle müssen daher sehr viele verschiedene Lösungen eines Problems für verschiedene Parameter berechnet werden, welches die Gesamtaufgabe zeitlich sehr kostenintensiv machen kann. Um dem entgegenzuwirken, wurde das Gebiet der (mathematischen) Modellordnungsreduktion (MOR) entwickelt, welches zum Ziel hat, das Verhalten eines gegebenen Modells günstig (im Bezug auf Simulationszeit) bei gleichzeitig hinreichender Genauigkeit zu approximieren.

In dieser Arbeit werden MOR Techniken für nichtlineare dynamische Systeme und Multiskalenmodelle untersucht. Dynamische Systeme beschreiben dabei (in diesem Zusammenhang) ganz allgemein die Änderung eines Prozesses über die Zeit, und Multiskalenmodelle beschreiben interagierende Prozesse, die jedoch auf verschiedenen Skalen im Raum oder der Zeit stattfinden. Kernelemente der Arbeit sind die Untersuchung von geeigneten Methoden zur Approximation der in den Modellen auftretenden nichtlinearen Terme und die Bereitstellung von Fehlerschätzern für einige Klassen dynamischer Systeme. Dabei werden Teilbereiche des maschinellen Lernens und der Modellreduktion zusammengeführt.