Justification of an approximation equation for the Benard-Marangoni problem

Abstract

The Benard-Marangoni problem is a mathematical model for the description of a temperature dependent fluid flow in very thin liquid layers with a free top surface. The liquid is bounded from below by a horizontal plate of a certain temperature. Above the liquid there is an atmosphere cooler than the bottom plate. There is a purely conducting steady state, where the liquid is at rest. This state is stable as long as the difference between the temperature of the bottom plate and the temperature of the atmosphere is sufficiently small. If the temperature difference surpasses a certain threshold, convection sets in, which is mainly driven by surface tension rather than buoyancy. The onset of convection can be seen as the propagation of a spatially periodic pattern, such that we interpret the Benard-Marangoni problem as a pattern forming system. In this thesis we are interested in the behaviour of the system when the purely conducting steady state becomes unstable.

From the equations of the Benard-Marangoni problem we formally derive a Ginzburg-Landau like system of modulation equations, which we use to construct approximate solutions for the full problem. In this thesis we prove an approximation theorem for these modulation equations. That means, we show that the approximate solutions lie close to true solutions of the Benard-Marangoni problem, at least for a long time.

The validity of the Ginzburg-Landau approximation was already shown for a number of pattern forming systems. In case of the Benard-Marangoni problem, however, we have a spectral situation that does not allow a direct application of the existing approximation proofs. Hence, we first consider a toy problem exhibiting such a kind of spectrum and develop a method for proving an approximation result in this case.

Furthermore, the existing approximation proofs were restricted to semilinear problems. However, the equations of the Benard-Marangoni problem are quasilinear. Therefore, we also develop a method for proving approximation results for quasilinear problems.

We then turn back to the Benard-Marangoni problem. After showing local existence and uniqueness of solutions, we apply our new methods in order to prove the desired approximation result.

Das Benard-Marangoni Problem ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung temperaturabhängiger Flüssigkeitsströmungen in sehr dünnen Schichten mit einer nach oben freien Oberfläche. Nach unten ist die Flüssigkeit durch eine horizontale Platte mit einer gewissen Temperatur begrenzt. Über der freien Oberfläche befindet sich eine Atmosphäre, deren Temperatur niedriger als die des Bodens ist. Es existiert ein bewegungsfreier Zustand der reinen Wärmeleitung. Dieser Zustand ist stabil, solange der Unterschied zwischen der Temperatur des Bodens und der Atmosphäre hinreichend klein ist. Überschreitet der Temperaturunterschied eine gewisse Schwelle, so stellt sich eine Konvektionsströmung ein. Diese wird in solch dünnen Schichten nicht vornehmlich durch Auftriebskräfte verursacht, sondern durch Differenzen in der Oberflächenspannung verschiedener Bereiche auf der freien Oberfläche. Das Einsetzen der Konvektionsströmung kann als die Ausbreitung eines räumlich periodischen Musters gesehen werden, so dass wir das Benard-Marangoni Problem als musterbildendes System interpretieren. In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Verhalten des Systems, wenn der Zustand der reinen Wärmeleitung instabil wird.

Aus den Gleichungen des Benard-Marangoni Problems leiten wir formal ein Ginzburg-Landau-artiges System von Modulationsgleichungen her, mit dessen Hilfe wir Näherungslösungen für das volle Problem konstruieren. Wir erbringen den Nachweis, dass die so gefundenen Näherungslösungen für lange Zeiten nahe an tatsächlichen Lösungen des Benard-Marangoni Problems liegen, d.h. wir beweisen einen Approximationssatz für die gefundenen Modulationsgleichungen.

Die Gültigkeit der Ginzburg-Landau-Approximation ist bereits für eine Reihe musterbildender Systeme gezeigt worden. Allerdings liegt im Falle des Benard-Marangoni Problems eine spektrale Situation vor, die es nicht erlaubt, die existierenden Methoden zum Nachweis der Approximationseigenschaft anzuwenden. Daher entwickeln wir zunächst eine allgemeine Methode zur Handhabung eines solchen Spektrums am Beispiel eines einfachen Spielzeugproblems.

Weiterhin sind die bisher existierenden Methoden auf die Behandlung semilinearer Probleme beschränkt. Die Gleichungen des Benard-Marangoni Problems hingegen sind quasilinear. Deshalb entwickeln wir wieder anhand einfacher Beispiele eine Methode für den Beweis von Approximationssätzen, wenn die zugrunde liegenden Gleichungen quasilinear sind.

Schließlich übertragen wir die obigen Methoden auf das volle Benard-Marangoni Problem, für das wir zunächst die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen nachweisen.