The validity of the Nonlinear Schrödinger approximation in higher space dimensions

Abstract

The goal of the present work is the proof of approximation results for the Nonlinear Schördinger approximation in higher space dimensions for dispersive systems. The focus is on systems with resonant quadratic terms, which can lead to some explosion before the end of the approximation interval. In higher space dimensions the resonance structure is much more complicated than in case of one space dimension. The proof of approximation results is based on normal form transforms and the use of time-dependent norms. Das Ziel dieser Arbeit ist der Nachweis von Approximationssätzen für die Nichtlineare Schrödinger-Approximation in höheren Raumdimensionen für dipersive Systeme. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Systemen mit resonanten quadratischen Nichtlinearitäten, welche zu einer Explosion der Lösungen vor Ende des Appro-ximationsintervalls führen können. Im Vergleich zu einer Raumdimension ist die Resonanzstruktur im höherdimensionalen Fall deutlich koplizierter. Der Nachweis der Approximationseigenschaft geschieht mittels Normalformtransformationen und zusätzlich mit zeitabhängigen Normen.